关于弹性地基上圆环形薄板振动问题的解答

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　　l引言

　　放置在弹性地基上的薄板，在工程中是常常遇到的间题。文献^[l]对静载作用下的弹性地基上的薄板进行了讨论，文^[2]对弹性地基上圆形薄板的振动间题给出了解答，文^[3]对弹性地基上圆形薄板的有阻尼振动问题给出了解答。本文对弹性地基上圆环形薄板的振动问题加以讨论，以期获得工程应用中比较重要的薄板自然频率的计算公式和数据，以及不发生共振现象的条件等有关伺题。所得结果同样适用于普通环形薄板的振动问题，只需令地基模量k=0。即可。这一间题的解决也是对弹性力学理论的一个比较重要的贡献。

　　2基本方程

　　推导放里在弹性地基上薄板自由振动时的基本方程是：

　　强迫振动时的基本方程是

　　其中 ρh为薄板单位面积的质量，其量纲为[质量]·[长度]^-2;k为地基模量，其量纲为[力]·[长度]^-3;q(r，θ，t)为动力载荷，其量纲为[力]·[长度]^-2。

　　对于圆环形薄板，其边界条件主要有:

　　(1)内边界固支，外边界固支;

　　(2)内边界固支，外边界简支;

　　(3)内边界简支，外边界固支;

　　(4)内边界简支，外边界简支。

　　如果再考虑内边界或外边界为自由边界的话，就有更多的组合了。在本文中，我们先讨论(1)和(4)两种情况，在续篇中将讨论有自由边界的情况。

　　3 自由振动时基本方程的通解

　　为了求解方程(1)，做变量分离，设

　　将(3)代入(1)式可得

　　即，(5)和(6)的通解组合起来就可以构成(4)式的即通解

　　为了求解(5)、(6)两式，可再次做变量分离，设

　　将(7)代入(5)、(6)两式后，可将(5)、(6)两式化为:

　　在(5')和(6')式中，固有值取整数n是因为巾是关于6的周期函数。

　　由(5')和(6')可得

　　其中Jn、Yn为第一类和第二类n阶贝赛耳函数，In、Kn为第一类和第二类n阶变形贝赛耳函数。于是，可以构造出

　　4 内边界固支外边界固支圆环形薄板的自然频率

　　(10)式仅仅为基本方程的通解，要在满足边界条件后才能代入(3)式作为实际间题的解答。这里先内外边界均为固支时圆环薄板自由振动间题。

　　边界条件是

　　(3)式要满足边界条件等价于(10)式满足于边界条件。对(10)式求导，可得到: