带裂纹厚壁圆筒应力强度因子的几种计算方法

　　承受内压的厚壁筒在工程中广泛使用,如:工业管道、枪管炮管等等。厚壁筒在工作时,由于高压的循环作用,内壁常产生裂纹,继续工作,会由于裂纹的扩展而导致破坏,为了工作安全,一般采用断裂力学理论来分析,因此计算厚壁筒在内压p作用下的应力强度因子K_Ip具有很大的实际价值。确定应力强度因子的方法有很多^[1~3],如:数值法、解析法、实验法等。解析法能解决的问题比较少,数值法则在工程中被广泛采用。数值法求解应力强度因子的方法有差分法、边界元、有限元法、边界配位法、权函数法等等。有限元法由于不受所研究的裂纹体几何形状和所受载荷复杂性的限制,在断裂力学中有着非常广泛的应用。本文通过有限单元法计算了裂纹体裂纹尖端附近的应力应变场,用位移法和应力法分别计算了静载下裂纹尖端的应力强度因子,并作了一些相应的分析和研究。

　　1　位移法求解应力强度因子的原理

　　如图1所示,厚壁筒的内壁考虑为具有深度为a的穿透型边裂纹。对于I型裂纹,取定Westergaard应力函数,经推导计算得裂纹尖端区域应力场的位移分量表达式为^[4]

     式中,本文以后的公式都是按平面应变公式而得到的。

        图2为裂纹尖端坐标系。将θ=π代入(1)式,得到裂纹面附近各点的位移公式

        式中, V可以由有限元方法计算得到。

　　如图3,裂纹尖端处r =0。考虑到有限元计算位移值的精度,计算裂纹尖端处的应力强度因子KI时,可从裂纹面上取3个不同点rA、rB和rC,代入(3)式,可得

　　在r很小的情况下,利用拉格朗日插值方法,可求得精度良好的裂纹尖端(r =0)处的应力强度因子

　　2　应力法求解应力强度因子原理

　　应力法求解应力强度因子与位移法很相似。首先求出裂纹尖端附近的应力场,再按应力与应力强度因子的关系求出应力强度因子。I型裂纹尖端附近的应力场公式为

　　裂纹平面的延长线面上,θ=0°,则可得

　　用有限元方法求得不同点的应力σ_y,按(7)式求出相应点的K_I值,再利用前面位移法类似的插值方法可求得裂纹尖端的应力强度因子。

　　3　单元网格的划分和等参奇异元的应用、计算结果及其分析

　　厚壁筒处于平面应变状态,由于对称性,取厚壁筒的一半作为研究对象。由线弹性断裂力学可知^[5~6],在裂纹尖端应变具有r^-1/2的奇异性,如果利用常规的单元来划分网格,则不能很好地反映这种奇异性。Barsoum证明了退化为三角形的1/4中点元在单元内任意一点,均存在的奇异性。本文划分网络单元采用八节点等差单元,而在裂纹尖端附近采用退化三角形的1/4中点奇异等参元,进行有限元计算。网格的划分见图4所示。