弹性圆柱壳的稳定性优化设计

    1　引言

    薄壳结构在航空航天、船舶、土建、化工、机械等工程中广泛使用,为设计有效且可靠的壳体结构,以避免可能出现灾难性的结构失效,必须研究壳体的失稳。壳体失稳是指壳体结构在载荷作用下,其内部应力远未达到强度失效的情况下,突然产生大的位移而使结构降低承载能力,甚至发生破坏。因此,研究并设计合理的结构形式,从而最大限度地抵抗失稳现象的发生是薄壳结构设计的一项重要工作。在一定程度上薄壳结构的稳定性设计比强度设计更为重要[1,2]。由于壳体稳定性的研究缺少完善的理论,其控制方程也较为复杂,使得稳定性设计比强度、刚度、振动等方面的设计更为困难[3,4]。

    本文研究圆柱壳在体积保持常数且中面形状确定的条件下,寻求最优的厚度分布,使受均布法向载荷作用的圆柱壳的屈曲临界载荷最大化。利用能量原理分析受均布法向载荷作用的圆柱壳的分支点屈曲问题:系统由稳定平衡状态转向扰动的分支点屈曲状态时,该系统中性稳定状态的条件是总势能的二阶变分等于零。由此把求解圆柱壳的屈曲临界载荷问题转化为一个广义特征值问题,在此基础上进行合理的优化设计。

    2　变厚度圆柱壳的屈曲分析

    假设弹性圆柱壳具有轴对称变厚度H(x),高度L,半径R,弹性常数E、μ,且受均布法向压力载荷P作用,如图1所示。沿轴向将圆柱壳离散成N个壳元,假定每个壳元长度充分小,可认为其厚度为常数,并设第I个壳元的长度为LI,厚度为HI,如图2所示。

    若圆柱壳在载荷P作用下处于某平衡状态e,为研究其稳定性,在e状态邻域作一充分小扰动到状态p,设其位移场为

    V^p=V^e+Vj        (1)

式中Ve、Vj分别为e状态位移场和由e状态到p状态的小扰动位移场,可表示为壳元的广义节点位移的线性函数。

式中(uei, wei,θei)、(uji, vji, wji,θji)(i=1,2)分别是e状态和扰动状态的广义节点位移,j表示周向的整波数,Ai(x)和Bi(x)为多项式函数。

    由Donnell理论的应变位移关系,将扰动状态p位移场(ue+uj, vj, we+wj)代入,则p状态下应变和曲率改变可表示为

    ε^p=ε^e+ε⁽¹⁾+ε⁽²⁾

    χ^p=χ^e+χ⁽¹⁾              (3)

式中εe、χe分别是e状态下的应变和曲率改变,ε(1)、χ(1)和ε(2)分别是包含uj、vj、wj一次项和二次项的表达式。则p状态下圆柱壳的应变能为

    U^p=U^e+U⁽¹⁾+U⁽²⁾+0(U⁽³⁾)         (4)

Ue为e状态下的应变能, U(1)、U(2)分别是包含uj、vj、wj一次项和二次项的表达式。