非对称齿形下的压痕问题分析

    1　引言

    压痕问题是当前工程力学界研究较多的课题,在宏观、细观和微观领域中取得了很多成果。但所研究的对象基本上是对称压头的压痕问题,主要是轴对称压痕,目的是确定材料的硬度和具有尺度效应的塑性应变梯度等性质[1]。在工业应用中,相当一部分问题是非对称齿形压头的压痕问题,例如锚固夹具、丝扣和刻痕等,压头形状对称与否对压痕问题的性质有很大的影响。根据工业界提出的课题,本文将对平面非对称压头压痕问题进行研究。

    2　理论分析

    图1为非对称压头压痕问题的力学模型。F为外部压力载荷,hc1和hc2为对应于左右两侧最大压深量的侵彻深度,h是压头位移,θ1和θ2是左右两侧的压头角度。

　　在本问题中,假设已知材料的弹性模量为E,泊松比为ν,屈服应力是σy,按照量纲分析的有关理论,取外力F和接触深度hc1与hc2为因变量,设定如下关系式[2]

    F=f(E,σy,ν,h,θ1,θ2)           (1)

    hc1=g1(E,σy,ν,h,θ1,θ2)         (2)

    hc2=g2(E,σy,ν,h,θ1,θ2)       (3)

    下面通过量纲分析进行推导,取E和h为基本量纲,有

    从式(5)可以看出,在材料和压头形状一定的情况下,外力和压头位移的平方成一次函数关系。式中的Π、Πα是无量纲函数。函数值仅取决于材料参数(σy/E,ν)和压头形状(θ1,θ2)。

    在此不对材料性能进行讨论,结合工程背景,讨论一种特定的材料情况下外压力和压头位移之间的关系。即在下面的讨论中,σy、E和ν这些材料参数作为常数。令θ=θ1+θ2,γ=θ2/θ1。公式(5)可简化为

    F=h2f(θ,γ)+g(θ,γ)        (6)

    f和g是θ,γ的函数,为了便于书写,没有把上述公式中的f和g无量纲化。考虑到γ和1/γ的互换性,上述公式中,γ应该以γ+(1/γ)的某种函数形式出现。由于不考虑材料的影响,f和g的值仅取决于压头形状,与外力无关,称之为压痕惯量。

    3　模拟计算和分析

    数值模拟应用有限元软件ABAQUS[3]。针对不同的压头角度(θ=θ1+θ2)、角度比(γ=θ2/θ1)以及外力F,做了大量算例。在计算的过程中,不考虑材料性质变化的影响,只取一种特定的理想弹塑性材料,有关参数为,E=2.0×105MPa,ν=0.3,σy=1 860 MPa。

    3.1　外力和位移的关系(F—h)

    先展示一个算例,取θ=θ1+θ2=30°+70°=100°,γ=7/3,外力F和位移h的关系数据如表1所示。

   经过数值拟合,表1中的数据满足函数关系

    F=31 552h²-2 505.5     (7)

    大量算例表明,改变压头形状时,F—h关系全都满足公式(7)的形式。这种非线性关系证明本文前面推导的正确性[4]。