三角点或四角点支承的矩形板弯曲统一求解方法

　　图1所示边长为a,b的矩形板,三角点或四角点支承.本文所提出的统一解法可以解决这二种矩形板在任意荷载作用下和角点支承发生任意支座沉陷时的弯曲.

　　1 三角点支承的矩形板

　　1.1 板面荷载作用

　　在板面法向荷载作用下,挠度应满足下列平衡微分方程[1]:

式中:D为板的抗弯刚度

E,L分别为板的弹性模量及泊松比;t为板厚.

　　w还应满足自由角点C处的反力条件:

w₁和w₂分别为方程(1)对应的齐次微分方程的通解和特解.w₁主要与板的边界条件有关.为表示板的双向弯曲变形和对应板的8个边界条件,取w1为包含8个待定常数的双向单三角级数[2]:

式中:α=mπ/(2a);β=nP/(2b);Am,Bm, Cm,Dm,En,Fn,Gn,Hn为8个待定常数;R0,R1,R2可由O,A,B三角点的挠度条件确定,设$O,$A,$B分别为O,A,B三角点的支座沉陷值,有

级数在x=0时为零值;在x=a时不为零值,符合三角点支承的矩形板在x=0边界上挠度小,在x=a的边界上挠度大的变形特点.同理,级数也有类似的特点.它们分别在[0,a]和[0,b]区间上具有下列正交性:

　　当i,j为任意正奇数时,有

　　该式切合三角点支承的边界条件所激发的弯曲变形形态,满足支承角点处的挠度条件并符合角点支座沉陷仅使板发生刚体位移的变形特点.特解w2主要与荷载有关,满足平衡微分方程的特解有很多形式,但仅有以下2种形式适用.

　　1.1.1 w2采用双重三角级数

　　w2采用双重三角级数时,首先要将q(x,y)展开成双重三角级数,级数形式必须与w1中的级数相同,以使w2也切合边界条件所激发的弯曲变形形态,设

　　在图1(a)所示阴影区作用均布荷载q时,

w2满足式(2)所示的自由角点条件,利用边界条件和级数的正交性可得求解待定常数的线性方程组.

　　因为w1和w2中采用了相同的级数形式,级数

在x=0(或y=0)的边界上零阶导数和二阶导数为零值,在x=a(或y=b)的边界上一阶导数和三阶导数为零值,致使在x=(或y=0)的边界上对应二阶导数的边界条件为精确方程,在x=a(或y=b)的边界上对应三阶导数的边界条件为精确方程.精确方程的左端系数项不包含任一个非三角函数的展开系数,右端项为零值.

　　算例1:正方形板,μ=0.3.表1列出4种荷载作用下板中点(1点)和自由角点C的挠度系数和弯矩系数以及O,A,B三角点的支反力系数,并与有限元值或理论反力值进行比较.表中荷载3为以x=a/2,y=b/2为中心,u=a/2,v=b/2范围内作用均布荷载q的情况,荷载4为在板中心作用集中荷载的情况.计算时取级数前3项.