夹层矩形板大挠度问题的数值解

    作为结构元件的夹层板在航空、宇航和船舶制造等工程中得到了广泛的应用.这种结构具有重量轻、强度高、刚性大的特点,若适当选择表层和夹心,还可以获得良好的抗振、隔热、隔音及其它必要的性能,故而夹层这种新型结构得到了愈来愈广泛的应用.因此近几十年来,许多研究者对这种板进行了研究.但是,因为面临非线性微分方程和夹层结构复杂的巨大困难,仅有少数人研究了夹层板的非线性问题.早在50年前,Reissner[1]首先建立了具有软夹心和极薄表层的夹层矩形板的大挠度理论,此时视表层如薄膜一样,忽略了表层的抗弯刚度.在此基础上,刘人怀[2,3]进一步建立了夹层圆板和矩形板的更为精确的非线性弯曲理论,文献[2~4]先后用修正迭代法、摄动法和幂级数方法进行了研究.本文考虑一在横向分布载荷作用下的夹层矩形板,采用伽辽金法研究了四边简支和周边夹紧两种边界条件下的非线性弯曲问题,获得了有意义的数值结果.本文所得结果可供工程设计时参考使用.

    1　基本方程

    考虑如图1所示的在任意横向分布载荷q(x,y)作用下的夹层矩形薄板,并采用Reissner的假定:(1)材料服从虎克定律;(2)夹心横向不可压缩;(3)夹心沿板面方向不能承受载荷;(4)表面处于薄膜应力状态;(5)夹心中面法线在变形后保持直线.

    在上述假设基础上,应用Hamilton原理,可导出以u,v,w,ψx,ψt5个位移分量表示的夹层板的非线性控制方程:

其中,G,D为夹层矩形板抗弯刚度;σx0,σy0,τxy0分别是夹层板中面的应力分量;ψx,ψy分别是夹心中面在xz,yz平面内的转角;u,v,w是板的中面位移分量;G2是夹心的剪切模量;E,ν分别是表层材料的弹性模量和泊松比.

式(6~8)即为无量纲化的非线性平衡方程.

    2　问题的数值解

    先考虑一均布载荷q作用下的四边简支夹层板,相应的无量纲化的边界条件:

再考虑一均布载荷q作用下的周边夹紧夹层矩形板,相应的无量纲化的边界条件为:

    对于两种边界条件,分别利用Galerkin法求解方程组(6~10),可得关于Amn,Bmn,Cmn,Dmn,Emn的5个代数方程组,当位移函数取有限项时,则得近似解.

    3　结果与讨论

    图2,图3分别给出了四边简支和周边夹紧两种边界条件下当k=1.0,ν=0.3时不同λ对应的无量纲中心挠度W0和载荷Q之间的关系曲线,从图中可以看出:

    1)与单层板的情况相似,随着载荷Q的增大,中心挠度W0随之单调增加;

    2)随着几何参数λ的增大,中心挠度减小;

    3)相同的载荷下,四边简支时的挠度较周边夹紧时的挠度要大得多;