考虑流固耦合作用旋转波纹管固有频率计算的有限元法

　　在石油、化工、冶金、仪表等工业领域中,旋转波纹管得到了广泛的应用。文献[1、2、3]分别用摄动法、差分法和有限元法对旋转波纹管在轴对称载荷作用下的静态非线性进行了分析,文献[4]给出了任意载荷作用下旋转波纹管的几何非线性有限元静态分析方法。为提高结构系统的动力性能和抗震性能,计算波纹管的固有频率是必要的[5],文献[6]用有限元法计算了空旋转波纹管的固有频率值。本文考虑波纹管与管内流体动力耦合作用,提出考虑流固动力耦合作用旋转波纹管固有频率计算的有限单元法。

　　1　基本方程

　　旋转波纹管是旋转壳体,在动力特征值分析中,仍采用两节点旋转锥壳单元[4～7]将其离散化,单元与单元之间以节点环相连接。

　　两节点旋转锥壳单元如图1所示。单元节点编号为i、j,单元径向长度为L。法向坐标N、径向坐标s、环向坐标θ切线方向组成右手螺旋直角坐标系;径向坐标r、轴向坐标z、环向坐标θ组成右手螺旋圆柱坐标系;坐标s与坐标z夹角为φ。将载荷和位移沿环向展开为傅立叶级数[4～7],u-、v-、w-和β-分别为节点的径向位移、环向位移、法向位移和径向转角傅立叶级数系数。

　　则对于谐波阶次n,单元e节点位移列阵为

　　由哈密尔顿变分原理可以得到,t时刻n阶谐波单元e的动力平衡方程为

(2)

　　式中t时刻单元节点速度列阵和加速度列阵;　[Ken]、[cen]、[men]——n阶谐波单元e刚度矩阵[5～7]、阻尼矩阵[5]、质量矩阵[5,6]。

　　式中　ρ——波纹管质量密度;　t——壁厚;　R——旋转半径;　[N-]——为形函数矩阵[4～7——面载荷列阵、环载荷列阵、温度载荷列阵[5,7]、管内流体引起的流体动压力列阵。

　　对于旋转锥壳单元内的流体,假定其为无旋、无粘和不可压缩,则根据流体力学速度势理论,在图1所示圆柱坐标系zθr中,流体动压力p(r,θ,z,t)应满足拉普拉斯(Laplace)方程

　　式中　V——单元内流体体积。

　　在流体单元液面上,沿径向取m个同心圆,并设t时刻n阶谐波单元内流体液面θ=0的径向线与各同心圆的交点压力为未知量,表示t时刻n阶谐波节点i液面θ=0的径向线与第k个圆的交点压力系数、p-2nk表示t时刻n阶谐波节点j液面θ=0的径向线与第k个圆的交点压力系数,则n阶谐波流体元的压力列阵为

　　式中　[N-p(r,z)]——锥壳单元内流体动压力形函数矩阵。

　　锥壳单元内流体元n阶谐波平衡方程则为:

　　式中　[N-3(s)]——形函数矩阵[N-(s)]的第3行元素组成的行矩阵,坐标z与s的关系为z=s/cosφ。

　　旋转锥壳单元所受的流体动压力列阵为