受控线性多体系统传递矩阵法

　　0　引　言

　　自Pestel于1963年建立经典的传递矩阵法[1],用于计算链式结构的固有振动特性和稳态响应以来,传递矩阵法已广泛应用于许多科技领域,并被推广到多体系统动力学研究^[2-6]。在兵器、航空、航天、汽车、机器人、机械等行业中,为使所设计的机械或结构具有良好的动态性能,求解各种复杂机械系统的稳态响应非常重要。近年来,多体系统传递矩阵法在兵器领域得到了长足的发展,效果颇好^[2-4]。

　　文献^[7]把控制信号作为状态矢量的元素,将传递矩阵法推广应用到受控链式多体系统,用于受控多跨机械臂的振动模态分析。本文提出的受控线性多体系统传递矩阵法,在状态矢量和传递矩阵中无需增加对应于控制信号的新元素,使传递矩阵法直接用于求解受控线性多体系统的稳态运动。

　　对于受控多体振动系统,只要把受控元件作为多体系统的特殊元件,建立其传递方程和传递矩阵,把控制回路作为特殊的闭环,就可按照对含有闭环多体系统的处理方法来解决这种系统的稳态响应求解问题。用受控线性多体系统传递矩阵法实例计算了两个受控多体振动系统的稳态响应,并与牛顿法结果进行了对比,结果表明,用受控线性多体系统传递矩阵法求解受控多体系统的稳态响应,保持了传递矩阵法过程简单、直接,计算量小,精度高,程式化和易编程等优点。且无需建立系统的总体动力学方程,尤其对于简单受控系统,只需通过矩阵的代数运算,就能够得到稳态运动的解析表达式

　　1　受控系统的动力学模型

　　图1所示的由若干个集中质量和弹簧阻尼铰组成的受控多体振动系统,在简谐力的作用下作稳态振动。用Kj,Cj(j=1,3,…,2n-1)分别表示弹簧阻尼铰j的弹性系数和粘性阻尼系数,用mj(j=2,4,…,2n)表示集中质量的质量。简谐外力Fj的频率为Ω,作用在集中质量mj上,可写为

　　控制系统的传感器通常装在某个集中质量mk上,控制系统产生的控制力作用于集中质量mp上,即

　　Ka,Kv,Kd分别为控制系统的加速度、速度和位移控制常数。需要指出,大多数实际控制系统是不实施加速度控制的。对不实施加速度控制的受控系统,只是本方法在Ka=0时的特例。若不考虑控制系统的时间滞后,则控制力是系统当前状态的函数。这样的控制力使元件k和元件p之间形成了一个特殊的闭环,因此一般情况下受控多体系统都可视为含有闭环的系统。对于通常的含有闭环的系统,多体系统传递矩阵法的处理办法是把分叉处的元件作为多端输入一端输出元件或一端输入多端输出元件,沿闭环或传递方向列写传递方程后在分叉处根据位移连续和力平衡条件再列写补充方程。但在图1所示的受控系统中,处理方法将大为简化,因为控制力只对元件P产生力学作用,而对信号源元件没有力学作用,使问题变得简单。为便于叙述,本文以图2(a)和图2(b)所示两种具体的受控3自由度振动系统为例,首先推导受控元件的扩展传递方程和扩展传递矩阵,进而用传递矩阵法研究受控线性多体系统稳态动力响应的求解问题。在图2(b)所示的系统中,控制系统的传感器装在集中质量上,控制力没有作用于某个集中质量上,而是作用于弹簧阻尼铰3上