旋转变截面扭梁的变形应力分析

　　变截面扭梁在机械工程、动力工程和航空航天工程中有广泛的应用，例如汽轮机叶片、卫星天线等，在设计计算中，这些结构经常可简化为变截面的扭梁。目前，大多数研究都是基于欧拉梁的理论，即没有考虑到剪切变形的影响。在文献^【l]中使用欧拉梁模型来计算运动系统中的稳定性问题;文献^〔2」使用有限元方法计算线弹性地基上有线性阻尼的欧拉梁在移动载荷作用下的响应特征。

　　本文从弹性体的最小势能原理出发，建立考虑到剪切变形影响的旋转变截面扭梁的力学模型，推导出相关的方程，并且分别讨论了转速和轮毅半径对梁的轴向变形、弯曲变形和剪切变形以及应力的影响

　　1理论基础

　　旋转变截面扭梁模型的投影图如图1(a),(b)所示。假设沿着梁的长度方向，单元的宽度、厚度和扭转角都是呈线性变化的。单元每个节点的自由度包括轴向变形、弯曲变形、弯曲转角、剪切变形和剪切转角，如图2中所示。

　　考虑剪切变形和转动惯量的作用时，旋转梁的变形可以分为轴向变形、弯曲变形和剪切变形等，旋转变截面扭梁的总势能U分为4部分^[[3][4]:

　　轴向变形产生的势能为:

　　其中，如图l(a)所示，。表示梁和转动中心之间的最近距离;气表示每个单元和梁的固定端之间的最近距离，z表是每个单元的左节点到梁的固定端的距离。p&是沿着x方向的轴向力，即由于旋转作用而产生的离心力。

　　其中:K,U,F分别为总体刚度矩阵、位移列阵和载荷列阵。把K和F分别带人到(8)式中即可求得位移U，接下来就可

　　以计算应变和应力。

　　2结果分析

　　2. 1转速不同时梁的变形和应力

　　图3给出了不同转速下梁的变形图和应力图。由图3(a)可以看出，在同一转速下，梁的轴向变形是呈逐渐增大的趋势;而当转速逐渐增大的时候，这种增大的趋势变化得很快，这是因为刚度矩阵中，转速都是以平方项出现的。在图3(b)中，在同一转速下，YZ平面内的弯曲变形是逐渐增大;但是当转速逐渐增大的时候，在同一节点处的挠度反而是逐渐的变小。由图3(c)中可以发现，XZ平面内的变形变化的趋势和YZ平面内的非常的相似，因此在后文中将不对XZ平面内的变形进行分析讨论。图3(d)所示为离心力产生的轴向应力图，同一转速下，离自由端越近，轴向应力越小。而当转速增大时同一节点处轴向的应力增大的比较快。

　　在图3(e)和图3(f)中，应力的最大值都是出现在低转速时，这与图3(b)和图3(c)中所述的相一致，因为转速增大必然导致弯曲变形和剪切变形减小，而小变形产生的应力必然也这也导致了在图3(g)中，通过叠加三种变形产生的应力之后，在零转速处的轴向应力反而要大于低转速时的应力。