具有粘性阻尼作用的粘弹性直杆的纵向振动

    近年来,人们对具有粘性阻尼作用的弹性直杆的纵向振动问题进行了一些研究。1998年,N.A.Hizal and M.Gurgoze[1]提出了这一问题的连续模型和离散模型,并对一端固定另一端自由的弹性杆的纵向振动问题进行了数值计算。随着材料科学的不断发展,粘弹性材料在工程中的应用日益增多,弹性材料仅是粘弹性材料的特殊情况,因此,考虑粘弹性特性将能更正确地反映材料特性。本文考虑了材料为Kelvin模型粘弹性和外部具有粘性阻尼作用下的杆的纵向振动问题,采用精确解法导出复频率特征方程,通过复数理论,将复特征方程化为两个联立的非线性特征方程组,分析了无量纲粘性阻尼系数、粘性阻尼作用位置及无量纲松弛时间对一端固定一端自由的Kelvin粘弹性杆复频率的影响。

    1　运动微分方程

    Kelvin粘弹性直杆在任意位置受到粘性阻尼作用下的纵向振动如图1所示,其本构方程及横截面上的内力分别为

式中:t为时间;x为直杆的轴向坐标;E与η均为Kelvin模型粘弹性材料常数;A为杆的横截面面积;L为杆长;σ为横截面上正应力;ε为轴向线应变;N为轴力;U(x,t)为轴向位移。

    在图1中,粘性阻尼作用处(即x=ξL)把杆分成二段,用Ui(x,t)(i=1,2)分别表示第1段和第2段的轴向位移函数。对微元体,由达朗伯尔原理得到分段表示的运动微分方程以及边界条件和连续条件分别为

式中:τ为无量纲时间;H为材料的无量纲松迟时间;D为无量纲粘性阻尼系数;ρ为材料密度,C为粘性阻尼系数。

    把式(5)代入式(3),(4),得到无量纲量表示的方程及条件

    2　复频率的解析解

    设方程(6)的解为

要使式(13)有非平凡解,必有系数行列式为零,即得复频率方程为

　　Dλsinh(βξ)cosh[β(ξ-1)]+(1+Hλ)βcoshβ=0     (14)

    一般而言,λ,β均为复数,直接求解超越方程(14)难度较大。为了计算方便,令

    采用Newton法求解式(19),可求出复频率的实部和虚部。

    3　数值计算及分析

    表1～表5给出了在粘性阻尼作用位置、无量纲量松弛时间、无量纲量粘性阻尼系数取不同值时,Kelvin粘弹性杆复频率的解析解。

    (1)从方程(3)可知,在H=0,D=0时,该问题退化为无粘性阻尼作用的弹性直杆的纵向自由振动问题。从表1中第2行可知,本文计算的复频率的实部几乎为零,虚部和文献[2]的解相同。在时,随着的增加,粘弹性杆复频率的实部为负值(绝对值在增大),虚部在减小,即随着无量纲量松弛时间的增加,粘弹性杆的振幅在衰减,频率在减小。在H≥0.255时,频率几乎趋于零。