基于Hamilton定律的结构动响应算法

　　Hamilton在其著名的Hamilton原理推导时指出若假设动力系统的初末时的时间和广义坐标是已知的,那么下面的方程:

　　称作变作用Hamilton定律,简称Hamilton定律。文献[1]将该定律用于对动力系统的直接计算,并给出了初末时位移与速度变分约束的两两共六种不同的组合情况的近似计算公式。文献[2]基于此给出了动响应计算的时间有限元算法。本文给出了时变参数的逐步积分算法。

　　1　算法推导

　　为公式推导方便引入几种数学符号[3]复合矩阵:由维数相同的行(列)阵构成的矩阵称为行(列)复合阵。

　　复合矩阵的叉积:设A为行复合阵,B为列

　　复合阵,只有在它们的子向量维数相同时才有如下定义的叉积,AT×B=[Dij],其中Dij为与B阶数相同的一般方阵。N阶线性时变系统半离散化的结构动力方程为:

　　Mj,Cj,Kj均为子向量为4维列向量的N阶列复合阵,相应地H00,H01,H11均为子向量为4维行向量的4阶行复合阵,初末时的位移与速度的变分不全是任意的,在文献^[1]所给出的六种组合中取Sj-1=Sj=0,这样在方程(9)中可划去第一个和第三个N个方程。由于Sj-1和S。j的任意性可得2N个方程,再引入初始条件可得:

　　E为N阶单位矩阵, 表示矩阵的Kronecker积,对时不变参数,算法的系数矩阵相应地变为:

　　其中,M,K,C分别为常质量,阻尼,刚度矩阵。

　　2　算法分析

　　对时变参数系统,还缺乏严格的收敛性分析理论,但通常认为相应的时不变系统的计算方法应是收敛的。为分析方便起见取单自由度模型:

　　2.1　相容性分析

　　将(11)、(12)代入(13)得如下两个方程:

　　2.2　稳定性分析

　　为分析算法的稳定性,可取(13)式中的c=0,f=0,这样由算法公式很容易得到:

　　2.3　算法讨论

　　仅从对线性时不变参数算法分析来看,算法在无物理阻尼和有物理阻尼时分别有三阶和四阶精度,但系数矩阵规模扩大了一倍;另外由算法的谱半径(差分方程(19)的特征方程的根的模值的最大值)经计算恒为1,可知算法没有引入“人工阻尼”,而且它的稳定性条件比现有的条件稳定算法放宽了许多,例如中心差分法为:ωΔt≤2。

　　3　数值例子

　　对时变参数情况,本文用Mathieu方程的数值例子来验证,方程为:

　　其中a是第一次谐波的最大振幅,取:a=1,ω=2,h=0.08,这样用(22)和(10)式,在微机上采用双精度计算,结果如下表:(时间步长取Δt=0.30785)

　　从上表中可以看出(10)式表示的算法与(22)式的结果有很好的近似,从而说明了算法的有效性。对线性问题,单自由度问题具有的算法特性,多自由度问题同样具有[4],所以本文算法对更广泛的工程问题同样适用。