各向异性板应力集中问题有限元方程的预处理方法

　　各向异性板应力集中问题的求解无论是在理论上,还是在工程技术上都是很重要的问题[1,2].在工程实际应用中,能用解析方法求出精确解的只是少数边界约束比较特殊,且几何形状相当规则的问题,对绝大多数问题,由于求解域几何形状比较复杂,根本无法得到问题的解析解,因而数值求解成为分析这类问题最为有效的途径和方法.在数值计算时,为达到一定的精度,在可能出现应力集中的区域,网格分布很密,这就导致整个求解域上有限元方程的规模将变得很大,利用以Gauss消元法为基础的直接法将变得十分不利,甚至将变得难以容忍.由于这类方程的刚度矩阵是高度病态的,实际求解时通常采用预处理方法,以改善刚度矩阵的条件数,提高计算效率.而有限元方程的求解在整个分析过程中起着十分重要的作用,将影响着整个有限元分析的效率.因此,研究诸如此类病态方程的快速求解将是一件相当有意义的工作.

　　本文针对此类病态方程的数值求解,建立了一类简单且实用的代数多重网格预处理共轭梯度法.由于该预处理方法能很好地改善刚度矩阵的条件数,使刚度矩阵的谱分布更集中,从而大大地提高了计算效率.数值结果表明,基于代数多重网格的预处理方法对求解应力集中问题病态有限元方程是非常有效的,具有很好的计算精度和收敛性.

　　1　各向异性弹性体及有限元离散

　　考虑二维求解域Ω内的各向异性弹性问题,其控制方程为[3]

　　其中 Ω=Γu+Γt,u=(ux,uy)T为位移向量,b=(bx,by)T为体积力向量,σ为应力张量,n为域边界Γt的外法向,-u,-t分别为边界位移和边界力.各向异性弹性体的物理方程为

　　其中αij可用工程常数表示如下:

　　其中:Ei:第i个方向的杨氏模量;G12:X1X2平面内的剪切模量;vi:泊松比,定义为由于i方向单位拉伸应变引起的j方向的压缩应变;ηij,k和ηi,jk分别为第一类和第二类相互影响系数.在正交各向异性体中,其在弹性主轴方向与坐标轴相同时沿弹性主轴方向的值为零.

　　与微分方程(1a)对应的积分方程的弱形式为

　　变分形式为

　　其中δ为变分算子, s为对称梯度算子.

　　利用线性有限元对变分问题(5)进行离散,在组集总刚度方程时,首先组集所有节点的x方向位移,再组集y方向位移,荷载列阵也作相应组集,可以得到以广义节点位移为未知量的、具有分块形式的有限元方程

　　其中

　　对于应力集中问题,为达到一定的计算精度,在可能出现应力集中的区域,网格分布很密,这样会导致整个求解域上有限元方程的规模将变得很大,利用直接法求解将难以进行.由于这类有限元方程的刚度矩阵是高度病态的,利用通常的迭代方法如共轭梯度法(CG法)和点Gauss-Seidel迭代法求解时,收敛速度将变得很缓慢.一种可行的办法是采取预处理方法(PCG法),即将原问题的求解转化为另一条件数大为降低的等价问题的求解,从而加速有限元方程的迭代求解.