薄壳稳定的变分原理

　　用能量法求解薄壳的稳定问题,一般均采用扁壳理论^[1],不能精确地解决曲率大的薄壳稳定问题。用精确的平衡方程的方法尚难求解比较复杂的稳定问题^[2]。应用变分学的直接方法可以有效地解决薄壳稳定的具体问题。

　　1　薄壳的变形和变形位能

　　按照易曲物体的形变理论[3],薄壳任一点在坐标线α1、α2和中曲面法线方向的位移可表为

　　当忽略壳体中曲面法向应力σ33时,壳体的内力T1、T2、T12和内矩M11、M2、M12以及变形位能A为[5]

　　2　确定临界载荷的能量准则

　　设壳体的载荷等于临界载荷,则壳体将同时有两个可能的无限接近的平衡位置。设初始平衡位置处于薄膜应力状态,此时壳体中曲面各点的位移为u0、v0、w0,而另一个新的平衡位置的位移为

　　将(17)式和(20)式代入(6)式,简化后并略去α2的项可得

　　3　确定临界载荷的微分方程

　　将(17)式代入(25)式和(28)式,然后代入(31)式,并进行分部积分,经整理后可得与(32)式相当的等式,其中右边双重积分号下各项等于零组成临界载荷的新的平衡位置的微分方程,它与文献[2]根据壳体平衡条件导得的微分方程是相同的。线积分号下各项等于零以及常数项等于零为力在边界及角点所应满足的条件,即在α2边界上应有

　　4　用位移变分法求临界载荷

　　将(22)式和(23)式代入(25)式可得变形位能的应变分量表示式为

　　将上式和(28)式代入(31)式所表示的弹性稳定问题的公式使有可能在解决具体问题时应用变分学的直接方法。对壳体来说,应变分量是指e11、e12、e21、e22,而转动角是指e13、e23。因此在和1相比时可略去，将(28)式和(34)式代入(31)式简化后可得适用的变分公式为

　　相应地,在稳定问题的平衡方程和边界条件中也可作同样的简化。

　　参考文献

　　1　沃耳密尔A C.柔韧板与柔韧壳.北京:科学出版社, 1959

　　2　黄克智.板壳理论.北京:清华大学出版社, 1987

　　3　诺沃日洛夫B B.非线性弹性力学基础.北京:科学出版社, 1958

　　4　黄炎.非线性薄壳的一般理论.常州工业技术学院学报, 1995 (4)

　　5　诺沃日洛夫B B.薄壳理论.北京:科学出版社, 1961

　　本文作者：黄　炎