薄壳动力分析的三维半显式迭代算法

　　文　摘　利用三维变分差分方法研究薄壳的动力分析。针对显式迭代格式最大稳定时间步长过小,而隐式迭代格式计算量大且精度不足这一问题,构造了一种半显式迭代格式(即关于厚度方向隐式、而关于其余两个方向显式),它的最大稳定时间步长较显式迭代格式有很大的提高,而计算量并未显著增加。算例的数值结果表明,这种半显式迭代格式具有较高的精度,它的时间步长满足计算薄壳波动问题的要求。

　　薄壳的静动力数值分析通常采用基于薄壳理论基本假设的二维曲壳单元,有时也采用厚度方向退化的三维曲壳单元。对于复合材料层合壳而言,这些单元难于求出层间应力,而对于层合壳体的脱层问题,层间应力又起着主导作用。因此,将三维数值方法应用于壳体问题的研究逐渐受到重视。这种方法的优点是不依赖于壳体理论中的任何假设,可以方便地求出层间应力。它的缺点是计算时所需内存过大,这在一定程度上限制了这种方法的应用。在这些

　　三维方法中,变分差分法以其计算量小、节省内存而逐渐受到重视。文^[1,2]的研究结果表明,当采用变分差分法时,即使沿薄壳面上的结点间隔远大于厚度方向的结点间隔,在厚度方向也只需3～5个结点,就可以得到满意的数值解。

　　对于薄壳动力分析问题,理想的量纲为1的时间步长应与壳体的量纲为1的面内步长min{h1,h2}相当。显式迭代格式是有条件稳定的,其稳定条件为τ～min{h1,h2,h3}～h3,其中:h3为壳体厚度方向步长,符号“～”表示具有相同的量级。因此,如果采用显式迭代格式进行动力分析,将因步长太小而导致机时的浪费。当采用隐式迭代格式时,由于一般说来它是无条件稳定的。因此可以增大时间步长,但每次迭代所需的计算量又将显著增加,而且隐式迭代格式的精度也存在不足。本文所建议的半显式迭代格式综合了显式与隐式迭代格式的优点,既具有每次迭代中计算量小和精度高的优点,同时又将最大稳定时间步长提高到min{h1,h2}的量级。

　　1　半显式迭代格式的建立

　　为叙述方便,将壳体自然坐标(ξ,η,ζ)所规定的方向定义为1,2,3,其中ξ,η为沿壳体中面的坐标,而ζ为沿壳体厚度方向的坐标。用变分差分方法得到的薄壳动力学问题的显式迭代格式可表达为[3]

　　式中:m为结点质量函数;u为结点位移矢量;F为等效结点力矢量;A是与应变能相对应的差分算子。而

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　　其中v为后一、二次可微的函数。与普通隐式迭代格式不同,此处算子B中只出现厚度方向的差分算子,因此它关于坐标3方向是隐式的,而关于1,2方向是显式的。所以称这种迭代格式为半显式迭代格式。