已知包含区间条件下的分布确定和B类不确定度评定方法

　　1　引　言

　　国际计量局(BIPM)即将发布用于评定复杂模型测量不确定度的指导性文件《测量不确定度表示指南》补充文件1—用MCM进行分布传播[1],其中给出基于蒙特卡罗评定复杂模型测量不确定度的方法,前提条件是必须已知输出量模型中各输入量的分布。在GUM[2]给出的测量不确定度B类评定中,也必须确定各影响量的分布,即求出其概率密度函数(ProbabilityDensityFunction, PDF)。在实际测量中,各输入量或影响量的分布通常是未知的,一般情况下是给出输入量或影响量的最佳测量结果和包含区间(或扩展不确定度),包含区间有基于最佳测量值对称和不对称的两种情况。本文运用最大信息熵原理(principle ofmaximum entropy, PME),主要对包含区间基于测量值最佳估计值不对称条件下的分布函数和B类不确定度评定问题进行研究。

　　2　基于PME的PDF确定方法

　　2. 1　PME原理

　　利用PME确定PDF的基本思想为:在一定的已知条件下求得的PDF中,信息熵最大的PDF包含了最多的已知信息,此时的PDF最接近于真实分布。本文中采用E.T. Jaynes[3]最大信息熵原理来确定PDF:

　　其中:H(x)为熵函数;f(x)为输入量或影响量x的PDF。

　　已知条件除了已知概率条件之外,可以是输入量或影响量的最佳估计值,或是统计的高阶矩等[4]。在已知条件下,使H(x)取最大值时的f(x)就是所要求的PDF,在具体的数学求解过程中就转化成了在约束条件下求极值问题,因此利用Lagrange乘子法,引入Lagrange乘子λi,求解符合条件下的f(x)。

　　2. 2　包含区间基于最佳估计值不对称条件下的PDF

　　式(6)即为包含区间基于最佳估计值不对称条件下的输入量或影响量的PDF。

　　2. 3　Lagrange乘子λ的计算

　　由式(6)知λ是未知数,所以必须解出λ才能确定PDF的具体形式。把式(6)代入式(3)得:

　　求解Lagrange乘子λ的方程为非线性方程。

　　在高阶原点矩约束的条件下,常用非线性规划法来确定λ。目前的研究中,主要采用Levenberg-Marquardt[5]方法来优化求解,非线性优化方法的好坏直接影响f(x)的结果。在已知一阶矩(即最佳估计值)和xi的取值范围(即包含区间)的条件下,可以不用非线性优化法来求解。本文根据MATLAB6.

　　5软件产生模拟数据,利用图形算法求出λ的值,其步骤如下:

　　(1)令g(λΔ)为λΔ的函数,则:

　　2. 4　包含区间基于最佳估计值对称条件下的PDF包含区间基于最佳估计值对称的条件为: b-=b+=b,Δ=2b,由式(6)得,输入量或影响量的PDF为:

　　由式(9)知,在包含区间基于最佳估计值对称的条件下,输入量或影响量的分布为矩形分布或均匀分布,其标准不确定度为: