空间曲杆有限元分析

　　0　引　　言

　　空间曲杆在现代工程中有着广泛的应用,但相应的有限元分析方法却不够完善,“以直代曲”是目前常用的手段^[1~3]。在对空间曲杆进行有限元离散时,为保证足够的计算精度,“以直代曲”的方案必须取较多的单元数目。而且由于曲杆几何形状的复杂性,常规的多项式插值位移模式不能描述曲杆的刚体运动^[4,5]。文献^[6]、[7]仅对几种特殊几何形状的曲杆构造了完备的位移模式。笔者首先在空间自然曲线坐标系下建立了空间曲杆的控制方程,得到了静定问题解的解析表达式;以此表达式为基础构造的曲杆元广义位移模式可描述曲杆的刚体运动,所发展的有限元法具有收敛快、精度高的特点,具有一定的实用意义。

　　1　基本方程

　　1·1　几何方程

　　如图1所示,Oxyz为空间固定的直角坐标系,空间曲杆轴线的几何方程为:

　　对轴线上任一点R(s),可得到一组正交的流动标架{R(s);es,eξ,eη}.杆截面上任一点的位

　　1·2　平衡方程

　　定义杆截面上内力素如下:

　　1·3　等效本构方程

　　对Hooke介质曲杆,可导出如下等效本构方程[8]:

　　式中,Iξ、Iη为截面对轴η和轴ξ的惯性矩,J为截面的抗扭模数,As为截面积,E、G分别为杨氏模量和剪切模量。

　　2　通　　解

　　上述的控制方程可写成矩阵形式:

　　平衡方程

　　　3　有限元法

　　对曲杆单元采用常规的多项式插值位移模式难以描述单元的刚体位移,文献[4~7]均未妥当解决这一难题。问题的关键是要找一个包含单元刚体位移项的插值函数。我们注意到在通解式(14)中,若令应变[ε]、[K]为零,则余下的部分正是曲杆的刚体位移,因而可在(si,si+1)段上取广义位移插值函数为以下形式:

　　其中[L]是一6×12矩阵,其中各元素值详见[8].

　　将式(16)代入式(15),则可得以节点位移表示的单元广义位移模式:

　　由于上述各量都是在曲线自然坐标系下定义的,不需进行局部坐标向整体坐标的转换,而直接由单元平衡方程组集得到整体平衡方程。

　　4　算　　例

　　依照上述公式编写的相应的计算程序,可对任意形状的曲杆进行有限元分析。采用本文的曲杆元和一般的直杆元分别对空间螺旋杆进行计算,并与解析解进行比较,结果如图3~6所示。由图3、4可看到,在求杆端位移时,采用曲杆单元仅需将杆离散成4段或8段,就可得到误差较小的解,而直杆元法却需取20个左右单元。在计算中还发现,虽然计算曲杆元的单元刚度阵花费时间较多,但总的计算时间却较少。这是因为曲杆元法用于求解整体平衡方程的计算量远小于直杆元法。