正交异性椭圆薄板大挠度问题的摄动变分解

　　文献^[1]对各种薄板的摄动解法作了详细的论述.文献^[2]针对周边固定矩形薄板提出了一个大挠度问题的摄动变分解,这个方法的最大优点是便于数值求解,而且待求未知量少.但由于它仅限于各向同性材料和矩形外形,故应用受到了限制.本文将它推广到解各向异性和椭圆外形薄板,因此能广泛应用到复合材料中去.

　　1　基本方程与边界条件

　　考虑膜力影响薄板平衡方程为

　　下面仅讨论正交异性板(相当于正交对称铺层),这时耦合刚阵[B]为零,且A16=A26=D16=D26=0,Aij和Dij一般表达式为(n为铺层数)

　　2　摄动变分法

　　图1表示均布载荷q作用下的周边固定正交异性椭圆薄板.长轴为2a,短轴为2b,板厚为h.现用U(x,y),V(x,y)和W(x,y)表示x,y和z方向的位移.

　　式中w展开式中的系数必须满足下列条件:w1(0,0)=1;w3(0,0)=w5(0,0)=…=0.将式(6)代入无量纲形式的大挠度方程组,然后比较各等式两边w0的同次幂系数并使之相等,便得到各级摄动方程组.

　　a.使w0的系数相等得到第一级摄动方程

　　同样可得到四、五级摄动方程,在此只计算到三级解.为导出相应的等价变分方程,据各级摄动方程可写出与式(7)～(9)相对应的泛函如下:

　　根据边界条件,各级泛函中的自变函数可取下列多项式形式的函数

　　将自变函数代入相应的泛函中,通过泛函的驻值条件可以得到所有待定系数的值.

　　3　数值算例及结果分析

　　作为例子,图2列出了四种长短轴比椭圆板

　　的非线性挠度-载荷曲线.薄板厚度h=1mm,材料参数E1=300 MPa,E2=200 MPa,v12=0.2,G12=20 MPa.

　　由算例的求解,可得到以下几条结论:a.和各向同性薄板一样,大挠度弯曲比线性弯曲得到的挠度小,这是由于面内拉力的作用;b.正交异性椭圆薄板的挠度比相应的圆形薄板的大;c.对于各向同性板的一级摄动解,得到的中心挠度值和周边固定椭圆板的小挠度结果相同.

　　参考文献

　　1　Chia C Y. Nonlinear Analysis of Plates. New York:McGraw-Hill, 1980.

　　2　潘立宙,王　蜀.均布载荷下矩形板大挠度问题的摄动变分解.应用数学和力学,1986, 7 (8): 676～688

　　本文作者：史宏斌　钟伟芳　黄玉盈　朱达善