直线度误差的新算法及其在微机上的实现

    1 直线度误差

    在机械制造过程中,经常要对导轨类零件的直线度误差进行测量。评定直线度误差的方法有两端点连线法、最小二乘法和最小包容区域法。根据国家标准GB 1958)20045形状和位置公差检验规定6的规定,被测直线落在由两条平行直线构成的包容区域内,如图1中两条平行的包容线l1、l2,其法向距离达到最小,则该距离值即为符合最小条件的直线度误差值。这就是基于最小包容区域法的直线度误差,是满足最小条件原则的。

    2 新算法探寻

    按照最小包容区域法的规定,求直线度误差的关键变成了求两条平行包容直线的斜率,这两条直线包容所有测量得到的样本点Pk(xk,yk)(k=1~n),并使两线间的距离达到最小。表面上看,找两条包容所有Pk的直线并不难。可以有很多办法,比如最小二乘法,即通过所有的Pk求得基准直线l(斜率为k、截距为b,方程:y=kx+b),从而可以求得最小二乘法意义下的直线度误差值,设为D。问题的关键在于如何在基线l和直线度D的基础上,对l进行细微的转动,即细微改变k值,进而把D的值降下来。笔者经过观察分析认为,通过改变斜率k的值,使基线l向可能降低D值的方向转动,是可以办到的。

    设通过最小二乘法拟合得到的初始基准直线为l:y=kx+b,样本点Pk(k=1~n)至l的有向距离中,最大者为Di、最小者为Dj,对应的点分别为Pi、Pj,如图2中所示。记Pi到直线l的垂点为Ai,Pj到l的垂点为Aj,显然PiAi=Di,PjAj=Dj。记D=|Di|+|Dj|。

    沿着AiPi方向距Ai很近(设距离为E)处,定一个点Aci,沿着AjPj方向距Aj很近(也设如E)处,定一个点Acj,通过Aci、Acj两点,做一条新直线lc。显然,lc与l的夹角很小,可以把lc看作是将l作细微旋转(即细微改变k的值)以后获得的。

    易见,Pi到直线lc的距离小于Pi到l距离Di,Pj到直线lc的距离小于Dj。这正是我们所期盼的:由于lc有可能把当前的直线度误差D(D=|Di|+|Dj|)降下来。

    究竟有没有把直线度误差降下来,我们通过Pk(k=1~n)对lc计算新的直线度误差值Dc,与前者D作比较:如果D降下来了,直线lc便取代直线l;如果没有降下来,缩小E值,重新求出直线lc,再计算直线度误差,看看其值下降与否。

    如果E已经缩小为非常小的值了,直线lc不能把直线度误差值再降下来了,则停止计算,D就是最终的的直线度误差值了。

    3 关于算法的收敛与符合/最小条件0原则

    假设Pk(k=1~n)是正常的点集,没有奇异点,符合正态分布,设Pi到直线l的垂点为Ai,到直线lc的垂点为Bi,观察图2中的三角形vPiAiBi,显然NPiBiAi是钝角,那么钝角的任何一条邻边必须小于对角边长度,也就是PiBi<PiAi;同样的,对于Pj,也存在一个类似的钝角三角形,说明Pj至直线lc的距离比其到直线l的距离减小了,即PjBj<PjAj。这表明,只要收敛条件合适,直线l经每一次细微旋转后,Pk(k=1~n)对于直线lc的Di、Dj总处在单调下降之中,亦即直线度的计算趋于收敛。