基于Matlab的平面度误差最小区域法评定

　　0 引言

　　平面是构成实体零件的重要几何要素之一,如机床的平面导轨、工作台等,而且常作为检测的基准面,因此,平面度误差的大小对产品的质量、使用寿面有着至关重要的影响。国家标准GB11337)89定义:平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量,而理想平面的位置应符合最小条件[1]。平面度是形状公差的主要项目之一,其误差的测量与评定在几何量测量中有着重要的意义。

　　目前,平面度误差的评定常用的方法有两种:一种是近似评定法,如:三点法、对角线法和最小二乘法等;另一种是最小区域法。三点法的评定结果不是唯一的,其原因是测量点的选取影响评定结果。对角线法虽然评定结果有唯一性,但当评定结果大于规定的平面度公差时,不能作出平面度合格与否的判断,存在较大的局限性。最小二乘法简便易行,长期以来在学术界十分流行,并被列入英、美等国的国家标准,但该方法仅提供平面度误差的近似评价结果,并不能保证解的最小性。有关研究表明:按最小二乘法所评定的平面度误差大于实际误差的1.14倍,而按最小区域法所评定的平面度误差小于实际误差的1.1倍[2]。由于用最小区域法评定的平面度误差接近于理想误差值,且符合ISO标准,为此多年来有许多学者致力于这方面的研究[3、4]。

　　按最小区域法评定平面度误差的分析计算较复杂,人们往往用计算机来代替手工计算,虽然减少了计算工作量,但需要用VB、VC、Fortran等高级语言编写程序,增大了编程工作量,容易出错,且不一定能实现最优求解。Matlab是集数值计算、符号运算及图形处理等强大功能于一体的科学计算软件,拥有强大的科学计算及数据处理能力,600多个数学运算函数,可以方便地实现各种计算功能且鲁棒性和可靠性非常高。在进行优化计算时,根据建立的数学模型,调用Matlab的优化函数,即可完成各类运算。

　　1 数学模型的建立

　　按最小区域法评定平面度误差实质上是寻找被测实际平面且距离最短的两理想平行平面,因此属于求最小化问题。平面在空间直角坐标系中的一般方程为:

　　设被测面上有n个测量点(xi,yi,zi)(i =0,1,2,,,n),将这些数据代入式(2)可得方程组:

　　将方程组(3)以矩阵的形式表示为:

　　式中:A—基准平面方程的系数矩阵。

　　A矩阵可由式(5)通过Matlab的矩阵运算而求得:A = ZS。

　　利用某种测量方法(如水平面法)测出被测面上各点对水平基准平面的偏差(zij)。以此平面为基准平面,可求出各测点到该平面的偏离量,即

　　式中:为法化因子,当x和y方向的坐标值取得较大时,则:ei= zij- axi- byi- c。