圆柱形状误差的LF模型及其离散辨识方法

    1 引  言

    圆柱形状误差特征可以用二维傅里叶级数进行描述[1],但是由于其轴向特征不具有周期性,因而在轴向采用傅里叶级数描述存在原理上的局限性。圆柱轮廓特征的另外一种描述方法是采用特征型法(eigen shape)[2],这种方法有时称为因素分析法(factor analysis),在物理学和社会学中得到广泛应用。轮廓的特征型描述法对于分析加工过程所产生的形状特征十分有效,例如由几道工序形成的轮廓,其状特征往往表现为数个基本的特征型,特别是当轮廓不连续时,必须要用高阶的傅里叶模型表示,相对而言,特征型模型效率更高。轮廓的特征型描述法是在假设采样点数已足够反映轮廓特征的基础上,因而一般只适用于分析轮廓的特征型与加工过程的关系,难以用来分析测量点数的合理性问题。

    在如图1的坐标系中,切比雪夫/傅里叶模型采用切比雪夫正交多项式描述圆柱轮廓的轴向形状特征,而采用傅里叶级数描述圆柱轮廓的径向特征[2],如式(1)所示:

    式中:r为轮廓上点到轴线的距离;R为名义半径;Tj(N)是第二类的切比雪夫多项式,j为切比雪夫多项式的阶数;i为傅里叶级数的次数;aij、bij为系数,反映轮廓形状。与切比雪夫/傅里叶模型类似,勒让德/傅里叶模型则用勒让德正交多项式描述圆柱轮廓的轴向形状特征[3],即:

    式中:j为勒让德多项式的阶数;i为傅里叶级数的次数;Pj(z)为j阶的归一化的勒让德多项式:

    由式(3)可求得各阶勒让德多项式如下:

    可以证明,函数组{Pj(z)}(j=0,1,2,,)构成完备的正交函数组。

    勒让德/傅里叶模型的参数Aij和Bij的几何意义十分明显,为直观地说明问题,下面画出典型的轮廓图形如图2所示[4]:0阶勒让德多项式为常数1,因此模型A00表示标准的圆柱;1阶勒让德多项式为z的一次函数,因此模型A00+A01z表示锥形;2阶勒让德多项式为z的二次函数,所以模型A00+A02(3z2-1)/2表示凹形(凸形);模型A00+A11zcos(H)表示圆柱的轴向倾斜。较复杂的形状则需要高阶、高次的LF模型表示。

    2 LF模型参数的离散辨识方法

    当沿圆柱轮廓的轴向密集采样时,可以按式(5)计算LF模型参数Aij和Bij[3]:

    式中:zl为采样点的轴向坐标值;$H为径向的均匀采样间隔;t和u分别为径向和轴向的采样点数;rkl为采样点到圆柱参考轴线的距离。

    式(5)是一种近似计算方法,会产生较大的误差,只有当沿轴向非常密集采点时,这种误差才可以忽略。为此,根据勒让德多项式的正交性,改式(5)内部的累加运算为积分运算,沿圆柱轴向在M阶勒让德多项式的零点处采样M点,沿径向均匀采样N点,并利用高斯-勒让德积分[4-5],则模型系数计算式为: