径向全跳动误差的理论研究

　　1 引言

　　按照形状和位置公差国家标准的规定,径向全跳动误差是指以基准轴线为理想轴线、包容被测实际圆柱面所作的两同轴的理想圆柱面的半径差。迄今为止,用半径测量法求端面全跳动误差的数学模型与算法,已十分完善。但数学模型成立的条件是满足安装偏心较小,采样点为偶数,且等角度间隔采样。保证等角度间隔采样,在采用半径测量法时并不困难,但在三坐标测量机,采样值为直角坐标值时,保证等角度间隔采样是极其困难,也是极耗费时间与精力的[1]。因此,建立适用于直角坐标系的端面圆跳动误差的数学模型,具有重要的理论意义和现实意义。

　　2 数学模型

　　将被测实际零件置于空间直角坐标系OXYZ中,坐标原点任意设定,各离散采样点不要求等角度间隔。对基准实际圆柱面取n个垂直OZ轴离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取m个离散采样点。令采样点为Pij(xij,yij,zij)(i =1,2,,,m;j=1,2,,,n)。对被测实际端面取N个垂直OZ轴离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取M个离散采样点。令采样点为QIJ(xIJ,yIJ,zIJ)(I =1,2,,,M;J =1,2,,,N)。

　　2.1 基准轴线

　　图1为基准实际要素的第j个采样截面轮廓的示意图。图中Oj(aj,bj,zj)为最小二乘圆心,Rj为最小二乘圆半径。在每个采样截面轮廓上,点Pij(xij,yij)到Oj(aj,bj)的各个半径为

　　点Pij(xij,yij)到最小二乘圆沿最小二乘圆半径方向的偏差为

　　根据最小二乘法原理,有

　　直接求解满足式(3)条件的aj,bj和Rj,难以得到关于待求量的显式表达式。为此须对式(2)进行线性化处理。即将式(2)在点Xj(aj,bj,Rj)附近的领域内的点X0j(a0j,b0j,R0j)处作泰勒级数展开,并取一阶近似,即令

　　于是有

　　为书写方便,令

　　则式(5)可改写作

　　用矩阵最小二乘法求满足

　　条件的ΔRj,Δaj和Δbj。

　　为了求得各采样截面轮廓的a0j,b0j和R0j,分别在每个采样截面轮廓上的采样点中,选取彼此相距最远的三个点(如彼此相距大约为120°的三个采样点)A(xaj,yaj),B(xbj,ybj)和C(xcj,ycj)。此三点所确定之圆的圆心和半径分别为(a0j,b0j)和R0j,则必有

　　由此式可解得a0j和b0j。

　　于是,至此再由式(4)已可求得aj,bj,Rj。

　　连接各采样截面轮廓的最小二乘圆心Oj(aj,bj,zj)所形成的空间折线可看作是被测实际轴线。

　　令被测实际轴线的最小二乘轴线L与XOY坐标平面交点的位置向量为A0= {x0,y0,0},L方向的向量为S= {p,q,1},则轴线L的方程可写作