噪声环境下圆度误差分离的统一方法

    0 引言

    圆度形状误差是衡量圆柱零件的重要指标之一,在精密测量或加工中需要对零件的形状误差和测量机构的回转误差进行分离和补偿。通常的方法是采用频域权函数的处理方法,在频域采用最小二乘法实现形状误差和测量机构运动误差的分离,这种频域处理方法在理想的无噪环境下具有良好的性能[1]。但在许多环境下,噪声的影响是不能忽略的,故噪声环境中频域最小二乘解不是最优的。目前圆度误差分离技术的研究很少考虑测量噪声的影响[2]。笔者从信号处理和线性代数角度出发,利用频域测量矩阵实现圆度形状误差和测量机构回转误差运动频域的分离,给出误差分离的最小均方误差(minimum mean squareerror,MMSE)解。这种MMSE解在无噪环境下退化为最小二乘解,在噪声环境下比最小二乘解具有更好的噪声抑制性能。新方法中,频域测量矩阵的范数,反映测量噪声对误差分离结果的影响程度,这种噪声影响程度对误差分离中不同谐波的处理非常有用,从而可以避免某些谐波分离中结果的严重失真。同时根据频域测量矩阵的范数,可以结合最小二乘解和MMSE解二者的优点,构造能更好抑制噪声影响的频域最小范数混合解。

    1 噪声环境下三点法圆度误差分离

    根据文献[1],三点法圆度误差的测量方程为

    式中,y0(i)、y1(i)和y2(i)分别为第i个测量点0、1、2传感器的输出;p0、p1和p2分别为测量传感器0、1、2和坐标轴ox的间隔,以圆周采样间隔为单位,且p0Xp1Xp2;r(i)为被测零件在第i个测量点处的形状误差;Dx(i)、Dy(i)为第i个测量点处回转误差运动在oxy坐标系中的分量;N为每周的采样点数;n0(i)、n1(i)和n2(i)分别为3个传感器的加性噪声。

    假设3个传感器的加性噪声是均值为零,方差为R2N的加性高斯白噪声,且与r(i)、Dx(i)和Dy(i)独立。

    对式(1)进行Fourier变换并写成矩阵形式,有

    式中,Y0(k)、Y1(k)、Y2(k)、R(k)、$x(k)、$y(k)、N0(k)、N1(k)和N2(k)分别为y0(i)、y1(i)、y2(i)、r(i)、Dx(i)、Dy(i)、n0(i)、n1(i)和n2(i)的Fourier变换。

    根据高斯白噪声的性质,N0(k)、N1(k)和N2(k)仍是均值为零、方差为R2N的白噪声,定义

    其中,Tk为频域测量矩阵。根据以上定义,把式(2)写成

Y(k) =TkX(k)+N(k) (7)

    式(7)即为频域测量输出的方程。当det|Tk|X0即Tk非奇异时,式(7)的最小二乘解(即迫零解)存在,第k阶谐波分量的最小二乘解为

    式中,T-1k为最小二乘准则下k阶谐波频域误差分离矩阵;下标LS表示最小二乘解。