一种评定最小二乘球的优化算法

    1　两种最小二乘球优化模型的比较

    所谓最小二乘球就是根据已知N个测点Pi(xi,yi,zi)的坐标值利用最小二乘法拟合被测球的球心坐标和半径值,数学模型表达了残余误差平方和为最小这一核心思想,用优化模型表达应是[1]

    式中　(xi,yi,zi)T——测点坐标值

    N——测点个数,通常N≥4

    (u,v,w,r)T——拟合球的球心坐标和半径值

    ei——残差,在此,ei为拟合变量(u,v,w,r)T的非线性函数

    求解优化问题(1)的方法通常可分为两类。一类为优化算法中的直接法,如坐标轮换法和单纯形法。此类算法在解该具体问题时,在确定初始点、寻优步长和收敛判别条件等方面具有盲目性,往往计算的收敛速度较慢,寻优精度也得不到保证。另一类算法是将残差ei转化成拟合变量(u,v,w,r)T的线性函数,再由超定线性方程组的最小二乘解法求解,如阻尼最小二乘法。由于线性化的残差表达式是实际残差的近似,所以这类算法的收敛速度和寻优精度主要取决于线性化残差表达式的构造。

    另有一种简化的最小二乘球的优化模型,表达式为[2]

   式中　Qi、Ai、Bi——测点坐标的极径、幅角和仰角

    Ei——实际残差ei的近似表达式

    式(2)为一种近似的最小二乘球拟合模型,在该模型中残差Ei为拟合变量(u,v,w,r)T的线性函数,同样可利用超定线性方程组的最小二乘解法,得正则方程

　　当N个测点不在同一平面上时, (ATA)为四阶对称正定方阵,正则方程(3)有唯一解

X= (ATA)-1ATB(4)

    这个解为模型(2)的优化解,而在模型(2)中残差Ei为实际残差ei的近似表达式,故这个解不是精确模型(1)的优化解。当然在评定精度要求不高、测点分布均匀、误差满足所谓小偏差假设的条件下,这个解(4)可以作为模型(1)的近似解,同样具有一定的实用价值[2]。

    比较模型(1)与(2),显见这样的事实:当被拟合球的球心坐标的真值(u,v,w)T均较大时,式(1)与(2)差别较大,此时用式(2)拟合的最小二乘球的精度较低;而当被拟合球的球心坐标的真值(u,v,w)均为零时,式(1)与式(2)完全等价,此时用式(2)求得的解(u=0,v=0,w=0,r)T也必为式(1)的优化解,这说明了这样一个事实:当被拟合球心坐标逼近于零时,模型(2)逼近于模型(1)。

    根据这一结论,笔者提出一种以线性简化最小二乘球模型(2)的迭代运算(3)去逼近非线性精确的最小二乘球模型(1)的优化解的优化算法。该算法的理论依据为:当(u,v,w)逼近于零时,模型(2)逼近于模型(1)。该算法的寻优思路为:用式(3)求出模型(2)的优化解(uk,vk,wk,rk)T,将坐标系原点变换到球心坐标(uk,vk,wk)T处,坐标变换后,相应的测点坐标也发生变化:xki-uk]xk+1i,yak-vk]yik+1,zik-wk]zk+1i。在新坐标系下,以新测点坐标(xk+1i,yk+1i,zk+1i)T结合式(3)求出模型(2)在新坐标系下的优化解(uk+1,vk+1,wk+1,rk+1)T,此时的球心坐标值(uk+1,vk+1,wk+1)应比原坐标系下的球心坐标值(uk,vk,wk)T小得多,因为坐标系的变换等同于消除了拟合球的偏心量(uk,vk,wk)T,而(uk+1,vk+1,wk+1)T仅仅是由于模型(2)的近似性而残余的偏心量。随着迭代次数k的增大,拟合球心的偏心量(uk,vk,wk)T将趋于零,模型(1)与(2)也愈趋于一致。当(uk,vk,wk)T同时为零时,模型(2)的优化解也必为模型(1)的优化解。最终,所得拟合球的球心坐标为:拟合半径为rm,其中m为最终迭代次数。