形位误差的数据处理

    1 引言

    机械零件几何要素的形位精度是零件的主要质量指标之一,它在一定程度上影响着整台机器或仪器的质量[1]。对机械零件规定合理的形位公差,若不采取适当的检测措施,这些公差形同虚设。对采集到被测要素的数据处理是形位公差检测的一项繁杂而细致的工作,处理不当,将会造成极大的损失。从形位误差评定方法看,不论是包容评定还是最小二乘评定,其算法都是比较复杂的。必须编写相应程序才能实现[2]。因此,形位误差的采集及数据处理,在生产实际中不能达到普遍应用的程度。本文用MATLAB语言作为计算平台,以最小二乘法作为误差评定方法,介绍如何解决有关形位误差采集的数据处理问题,同时,也介绍MATLAB其他算法在形位误差数据处理中的应用。旨在保证算法正确的前提下,简化数据过程。

    2 数学模型

    形位误差的最小二乘评定是用理想要素的等距图形去逼近实际要素,并使残差平方和为最小[3]。形位误差涉及的要素是线和面,在数据处理时,关键是确定线或面的方程。文献[5,6]介绍了根据最小二乘的计算机算法实现,最小二乘线或面的系数必须通过自己编程实现。MATLAB语言把这一部分算法直接作为子程序内置在其环境里,用户只需输入自己的采集数据,调用相应功能的函数就可以得到最小二乘算法的解。

    2.1 直线和面的数学模型

    给定平面的直线方程:y=Ax+b

    任意方向的直线方程:

    平面方程:Z=b1+b2x+b3y

    上述方程都是线性的,可以写成矩阵的形式:

AX=b

    其中A是上述方程中的待定系数,b是常数,X是广义的采集坐标值,即表示(x,y)T、(X、Y、Z)T。

    为了保证测量精度,避免随机误差,采样点数一般多于待定系数的个数,由这些数据构成的方程,显然是超静定方程,用一般数学方法很难得到具体解。利用MATLAB语言中矩阵左除符号/,即:X=A b,就可以确定AX=b的最小二乘意义上的解。

    2.2 非线性的线的数学模型

    在形位公差中,非线性的线主要有圆、二次抛物线、样条曲线等。最小二乘圆评定法的计算模型[1]为:

   关于其他曲线的数学模型,如在轮廓度测量时,若没有给定理想轮廓数据点,一般采用二次抛物线或三次样条曲线拟合,具体算法参阅文献[2]。

    2.3 算法实现

    2.3.1 线性方程组求解 首先在M文件中录入采样点数据的矩阵X,用矩阵左除/就可以得到待定方程相应的系数,在带入有关误差计算公式(同样写成M文件),就可以得到形误差的最小二乘评定值。误差求解的通用形式如下: