用谐波分析方法识别零件的圆度误差特征

　　0 引言

　　圆度公差是GPS(Geometrical Product Specificationand Verification)国家标准以及ISO标准规定的十几项公差项目之一[1-3]，主要用于控制机械零件的回转精度。圆度误差的精确测量和圆度误差特征的准确识别，无论对于具有回转精度要求的零件的合格性判定，还是对于零件的圆度加工误差性质判别和加工方法改进都是十分必要的。目前，圆度误差的数字化测量设备有圆度仪、圆柱度仪、三坐标测量机或视频仪(只能测量薄壁零件的圆度误差)等。在对圆度误差进行测量评定时，首先利用圆度误差测量设备采集被测零件圆轮廓上的离散点，这些离散点经数字滤波后(有些测量设备，如三坐标测量机和视频仪的测量点数据是未经数字滤波的) 作为圆度误差评定的原始数据。然后由圆轮廓上的原始数据拟合出符合最小条件的理想圆心，评定出圆度误差。最后，根据合格性判定规范对被测零件的圆度误差做出合格性判断[4]。但是，为了进一步分析圆度误差的产生原因，给圆度加工精度的提高提供科学依据，只测量出零件圆度误差的大小是不够的，还必须识别出圆度误差的误差特征。文献[5-6]中给出了信号谐波分析的理论方法; 文献[7-8]中给出了极坐标系下圆轮廓信号的谐波分析方法及其在汽车车轮检测中的应用实例; 文献[9]中给出了非整圆轮廓的谐波估计方法和响应表面法; 文献[10-14]综合考虑圆轮廓的表面特征和测量误差等因素，提出2次测量法分析方案，并得到测量点数合理性判别准则即不确定度评定方法。本文以直角坐标系下圆度误差测量为例，给出圆度误差的最小二乘评定方法的线性化处理方法，同时利用傅里叶级数展开法分析实际圆轮廓的谐波特征并给出数字化实现方法。通过分析实际圆轮廓的谐波特征，可以判定出圆度误差特征，并找到改进加工方法的措施。

　　1 圆度误差评定最小二乘法的线性化处理

　　在直角坐标系下对被测实际圆轮廓上的点坐标数据进行测量，(xi，yi)，i=1，2，…，n为实际圆上均匀分布的离散点测量坐标数据。设，满足最小二乘条件的圆的方程为

　　式中，(x0，y0)为被测实际圆的最小二乘圆心坐标; R为最小二乘圆半径; x0，0为待估计参数。考虑到测量误差的存在，测量残余误差方程式为

　　很显然，估计参数x0，y0的问题属于非线性最小二乘法问题。为了将非线性问题线性化，现将测量残余误差方程式在x0，y0的初始点x(0)0，y(0)0作泰勒级数展开，初始圆心(x(0)0，y(0)0)可以由已经测量得到的实际圆上的点(xi，yi)中的3点代入式(1)求得(这3点最好在圆周上大致均匀分布)，并忽略二阶及以上微量，得: