基于鞍点规划法的形位误差计算机评定

　　1 引言

　　有关研究表明:按最小二乘法所评定的形位误差大于实际误差的1.14倍[1],图解法的评定结果与实际的出入更大。在我国的国家标准中,明确规定了“在评定形位误差时,理想要素的位置应符合最小条件”[2]。为此,本文提出了形位误差评定的鞍点规划法[3],它给出了形位误差评定的统一模型,满足了误差评定的“最小条件”,并且没有建模误差。采用遗传算法直接求解鞍点规划模型,避免了复杂的数学演算,简化了求解过程,提高了评定精确度。

　　2 鞍点规划模型

　　理想要素和实际要素同一法线方向上的最小误差才真正反映了实际要素相对理想要素的误差。在实际测量过程中,当以理想要素为基准进行测量时,所测得的误差D未必是实际要素的法向误差,如图1所示,这就需要通过改变理想要素的位置来确定实际要素的法向误差Δ。法向误差$既与理想要素位置改变前的误差D及其测量基准点P0有关,还与理想要素自身及其位置变化矢量X有关,因此它们之间的关系可以表示为如下统一形式[3]:

　　其中,Ω为测量基准点P0的位置矢量,U为描述理想要素的参数,X为理想要素位置变化矢量。理想要素可以为平面曲线、空间曲线和曲面,当为平面曲线时:U=p,X=(C,x,y)T;当为空间曲线和曲面时:U=(p,q)T,X=(α,β,γ,x,y,z)^T。α、β、γ为角位移变量,x、y、z为线位移变量。

　　一般地,δ和Ω为已知参数,Δ、U和X为未知参数。因此式(1)可以表示为:

　　显然,式(2)中的Δ是U和X的函数。形位误差评定是为了寻找到真正反映实际要素误差大小的法向误差Δ。通过理想要素的位置变化,使得实际要素上的最大法向误差为最小,这便是形位误差评定的基本思路。很显然,它属于“极大中的极小”问题。在数学中,把函数上具有“极大中的极小”或“极小中的极大”的点称为鞍点,把同鞍点有关的问题称为鞍点问题。在理论和实践上发展起来的以寻求目标函数鞍点为目的的规划方法称为鞍点规划(SaddlePoint Programming)。形位误差评定所追求的目标是误差的鞍点,它是一个典型的鞍点规划问题。当以单一理想要素为基准来进行评定时,它的鞍点规划模型可以表示为如下统一形式:

　　式(3)中,Δ又称为鞍点规划的目标函数,Δ*为Δ的鞍点,n为X的维数,U*为U的最优点,X*为X的最优运动矢量。对于理想要素的参数U,一般是确定它的离散点,此时有:

　　其中,m为离散点数,一般等于测量点数。

　　这样,形位误差评定的鞍点规划模型可以写成: