基于SQP算法的形状误差统一评定

　　引言

　　随着形位误差的评定方法、理论、计算方法等问题研究的深入[1],形位误差评定已由单一要素的研究开始转向对关联要素的评定理论研究。目前出现了一些较为新颖的形位误差评定方法[2～9]。本文根据形状误差定义及数学规划理论,建立了形状误差包容评定的非线性规划模型,指出本质上是多目标优化问题,并提出了用逐次二次规划的解法(SQP法)。即对非线性规划问题用二次规划进行逐次逼近,生成收敛于待求最优解序列的方法。

　　1　数学模型及其评定准则

　　形状误差评定数学模型可表示为最小最大问题。

　　对于单包容情况,设第i个被测的测点用向量Pi表示,控制面的定向向量和定位向量分别用T、S表示[10]。其数学模型为

　　式中r——控制面半径

　　将上述表达式改成最大最小,就变成相应的最大内接控制面。

　　定义:距内、外控制面(线)等距离的面(线)为中性面。

　　对于用最小包容原理的双包容的情况,其数学模型为

　　式中：

　　r1——中性面半径

　　t——相应形状误差

　　式(1)～(2)中向量的含义见表1。

　　式(1)、(2)中的目标函数可以统一表示成:

　　R(Pi,Q),其中Q是和控制面有关的向量(参数)或称描述变量,在单包容时包括T、S,在双包容时包括T、S及r。形状误差评定的问题便可统一为“寻找Pi、Q的值使最大偏差R′(Pi,Q)最小的问题”。即是一个极大值极小化的问题.

　　式(3)所涉及的极大极小问题实质是多目标优化的问题。多目标优化和单目标优化的本质区别在于:在很多情况下各个子目标有可能是相互冲突的,一个子目标的改善有可能引起另一个子目标性能的降低。也就是说,要使得多个子目标同时达到最优值是不可能的,而只能是在它们中间进行协调和折中处理,使各目标函数都尽可能地达到最优。

　　评定形状误差时,一个测点可形成一个子目标,使子目标达到最优值的测点称为有效约束点,它们在控制面上。若有效约束点的个数m大于Q的维数,可以直接用有效约束点唯一地确定一个控制面,称为通常情况;否则,即m小于、等于Q的维数,未必可以直接用有效约束点唯一地确定一个控制面,称为退化情况。但不管是什么情况,式(3)的结果都只与测点中有效约束点有关,而和其他点无关。即形位误差的评定只与测点中的有效约束点有关,而和其他点无关。

　　这些模型都是非线性模型,但它们都是凸的,其局部最优就是全局最优。本文对计算结果仍用下述判别准则判别[3],以保证计算结果确实是最优解、不是收敛解。设u、v是在内、外控制面上的测点(有效约束点)的集合,则