基于MATLAB的平面度评定

?　　1 引言

　　在实际工程中，对某些零件的平面度测量是必不可少的一个环节，由于传统的测量方法十分复杂，在某些复杂的环境下难以直接测量，为工程人员带来了诸多不便。本文采用直角坐标测量法。首先建立相应的数学模型，利用传统的平面度评定方法，得到平面度误差，然后利用MATLAB中的优化工具箱得到平面度的最优值，将两种方法得到的值相比较。实践证明，MATLAB的优化算法收敛性好，过程稳定。该方法还可以推广到其他测量任务如直线度、圆度和圆柱度等形位误差评定。

　　平面度的评定方法包括最小包容区域法、最小二乘平面法、对角线平面法和三远点平面法。其中，最小二乘平面法计算方便简洁，本文采用最小二乘平面法介绍平面度评定过程。

　　2 平面度的最小二乘模型

　　用最小二乘法评定平面度误差时，评定的基准平面是最小二乘平面，最小二乘平面的确定是利用各测量点到平面的距离的平方和为最小值。取得各点相对于该平面的偏离值中的最大偏离值和最小偏离值之差作为平面度误差，点在平面上方为正，在平面下方为负。

　　以被测平面作为XOY平面建立坐标系，在直角坐标系中得到平面上n个点的坐标值。

　　假定测得点坐标为(xi，yi，zi) ( i = 1，2，…，n)，最小二乘平面为: z=ax+by+c，其中a，b，c为待定参数。根据最小二乘原理得最小二乘平面的待定参数a，b，c为

　　拟合出最小二乘平面后，平面上方的点和平面下方的点到平面度距离公式，本身带有矢量性。距离公式为

　　根据最小二乘原理有

　　故求解最小二乘平面度误差就转换为寻求(a、b、c)的值，使目标函数Q最小。

　　假设采样点中位于最小二乘平面两侧的最大偏离点分别为(xM，yM，zM)和(xL，yL，zL)，则平面度最小二乘检验的结果可表示为

　　3 MATLAB优化工具箱

　　MATLAB7.6.0的优化工具箱中含有一系列优化算法函数，可以用于解决一系列工程实际问题。本类问题可属于求解无约束条件非线性极小值以及非线性最小二乘逼迫和曲线拟合问题。只要正确地建立问题的数学模型，调用相应的函数，即可求的结果，无需编写求解程序，因此求结过程非常简单。用于求解无约束条件非线性极小值的函数有fminsearch和fminunc。本文用的是fminunc，其用法介绍为:

　　其中，x为最优解; fun 为目标函数; x0为初始解; options为设置优化选项参数; fval为返回目标函数在最优解x点的函数值; exitflag 为返回算法终止标志; output为返回优化算法信息的一个数据结构。