圆度误差数学模型的建立与仿真分析

　　机械零件回转表面正截面轮廓的圆度误差,对机器和仪器的性能有很大的影响。采取合适的测量方法,准确地求得符合定义的圆度误差测量值,一直是许多专家和学者致力研究的课题。本文在采用最小二乘法推导圆度误差数学模型的同时,对此方法进行了仿真分析。

　　1 最小二乘圆评定法数学模型

　　1.1 圆度误差的定义及最小二乘法评定原理

　　按照形状与位置公差国家标准中的规定,圆度误差是指被测实际圆对理想圆的变动量。采用最小二乘圆法评定,即在确定最小二乘圆(理想圆)时,应使被测实际圆上的各点到理想圆偏差的平方和最小。从最小二乘圆的圆心算起,被测实际圆的最大半径与最小半径之差,就是被测实际圆的圆度误差。

　　1.2 数学模型的建立

　　以测量时被测截面的回转中心O1为圆心建立极坐标系,如图1所示。在正截面轮廓上等角度间隔地离散采样,采样数据为Pi(Δri,θi)(i=1,2,m)(其中Δri为测得的被测实际圆上各等分离散采样点的半径增量,Hi为采样点处的角度值)。令最小二乘圆的圆心为O,半径为R,最小二乘圆心与回转中心的偏心为e,各离散采样点Pi到最小二乘圆径向偏差为εi(i=1,2,,m),由图1可见,OD=R,OO1=e,PiD=εii,NPiO1Q=Hi,NOO1ρ=α,O1Pi=r0+Δri(其中r0为任意选定的常量)。

　　将f(e)按麦克劳林公式展开,得:

　　由最小二乘法原理,应使偏差的平方和为最小,即

　　下面求满足式(8)条件的R,a和b由式(7)可得

　　数据的结构矩阵为:

　　正规方程组的系数矩阵为:

　　则正规方程组的常数项矩阵为:

　　因为A^-1存在,所以有

　　式(13)表明:最小二乘圆半径为

　　于是最小二乘圆评定法的圆度误差为

　　上述公式的推导,不仅得出圆度误差数值的大小,而且得出最小二乘圆圆心的坐标位置。

　　1.3 数据处理实例

　　在零件截面轮廓上等角度间隔地离散采样,采样点数m=20,半径增量分别为:0,3.2,4.8,7.6,12.8,20.5,22.3,23.8,24.6,23.5,19.6,16.7,14.7,9.9,3.4,-0.1,-0.9,-2.1,-3.2,-1.2(单位:μm)。通过运行根据上述数学模型编制的数据处理程序,可得零件的圆度误差为f=4.9776μm。最小二乘圆心的直角坐标分量为(-10.7270,8.4680)(单位:μm)。

　　2 最小二乘圆评定法数学模型的仿真分析

　　2.1 安装偏心对评定结果的影响

　　假设被测实际轮廓为一理想圆,只是安装时被测零件轴线相对测量仪回转轴线产生偏差而平移。如图2所示,设偏心为e,初相角为α,被测零件正截面轮廓半径为r0,则采样时