关于悬臂梁振动特性的损伤灵敏度的研究

　　由于结构的振动响应易于获取，因此频率、位移模态、曲率模态等振动特性常常被用来识别结构中的损伤^[1―2]。但是在实践过程中，人们往往发现当结构出现损伤时，其频率和模态的变化很小^[3]。对此，一般的解释是：由于损伤是结构的局部特性，而频率和模态是结构的整体特性，因此损伤的出现只会对高阶频率和模态产生较大的影响，但这些高阶特性在实际工程中又是不易准确测量的^[1]。另外研究人员也发现，和应变模态或曲率模态相关的指标对损伤却很敏感^[3―6]。

　　为了研究振动特性对损伤的敏感性，Yuen^[7]通过对带损伤悬臂梁的有限元计算结果，发现转角模态对损伤很敏感。这个结果也被其它研究者用有限元方法所证实^[8]。

　　用大量数值模拟的方法固然能找到一些规律，但如果能推导出结构振动特性对损伤的敏感性的解析表达式，则更具有普遍意义。为此，一些研究者曾经做 过一些尝试，但在他们的推导过程中，往往需要引入某种假设来建立等效的损伤模型。比如Thomson[9]通过在无损梁上施加等效载荷的方式来模拟具有不 连续刚度的梁;Chondros 等^[10―11]用具有等效刚度的扭簧来代替穿透裂纹;而 Christides和 Barr^[12]则假设了梁中裂纹附近的应力分布规律。

　　在不采用任何损伤模型假设的情况下，本文给出了具有一处损伤的悬臂梁的频率和模态的解析解。基于这个结果，详细讨论了不同的振动特性对损伤的敏感性，所得的结果对相关领域的研究者有一定的参考价值。

　　1 带损伤悬臂梁振动特性的解析解

　　1.1 求解自由振动频率

　　如图 1 所示长度为 L 的悬臂梁，在 l₁ <x≤l₂段有损伤。无损段和损伤段的弯曲刚度分别记为(EI)₁和(EI)₂，无损段和损伤段的单位长度的质量分别记为M₁和 M₂。采用平面 Euler-Bernoulli 梁理论，梁的位移模态 Y 满足的方程为：

式中 ω 是梁的固有圆频率。式(1)和式(2)的通解为：当 0≤x≤l₁时：

　　式(4)―式(6)中的待定系数可由梁两端边界条件和中间两处的连续性条件确定：x = 0 处固支，挠度和转角为零：

　　联立式(7)―式(18)即可求解其中 12 个待定系数。若联立方程组有非零解，则要求其系数矩阵的行列式等于零，由此关系并利用 Maple 软件的符号运算功能可以得到求解悬臂梁自由振动频率的方程：

　　将式(20)―式(22)代入式(19)就得到一个只包含变量 K₁L 的超越方程。用数值方法求出该方程的第 n 个根(n = 1, 2, …)，再代入式(3)即可得到梁的第n 阶自由振动频率：