柔性板振动控制中压电元件的优化布置

　　1　引言

　　近年来振动主动控制技术在工程上获得了发展,其和压电材料相结合开辟了结构振动控制的一条新途径。研究表明通过在结构上对位粘贴压电元件分别构成传感器和作动器,用传感器测量受控对象的振动信息,经过控制器向作动器施加适当的信号来控制结构的振动,实验表明这种方法可以取得良好的效果,如图1所示在结构上表面粘贴的压电片为作动片,控制电压为ua(t),下表面粘贴的压电片为传感片输出电压为us(t)。然而,压电元件在结构上选位的好坏,直接影响到控制的效果,选位不合适甚至会使得控制完全失去作用。D·S·Bayard针对此问题提出了D优化设计准则[1],国内许多学者利用该准则也做了许多有益的探索,我们利用该准则分析了一维梁的振动控制中其表面压电片优化布置问题[2],古渊利用该准则分析了二维柔性板的振动控制中其表面压电片优化布置问题[3]。然而他们利用该准则时没有考虑到不同模态在结构响应中所占的比例是不同的,本文以二维柔性板为研究对象,运用D优化设计准则,分析柔性板的低阶模态在结构响应中所占比例发生变化时,其压电传感器位置优化问题。

　　2　压电传感器的数学模型

　　压电传感器是利用了压电材料的正压电效应,将压电薄片粘贴在板的表面,忽略压电片的变形沿厚度方向变化,在理想情况下压电片的变形等于粘贴处板的应变。由于其正压电效应,压电片将输出电压,在微振幅范围内其数值与变形成正比。通过外部电路将压电片感测到的电荷转变为电压,从而获知板的振动情况。将压电传感器后接图2电路图,当压电片面积足够小时,电路输出电压与压电片粘贴处结构的应变关系为:

　　其中C、A分别为压电片电容和面积,w为结构的挠度,δp为压电片的厚度,dp=d31=d32为压电片压电常数,Ep为压电片弹性模量,εsp是力学自由条件下的介电常数,μp为压电片的泊松比,εx、εy为粘贴压电片处结构x、y方向的应变。

　　用差分形式近似微分形式:

　　其中分别为板在(i,j)处沿x,y方向的应变,h、t分别为板上所构造的差分格式中x,y方向的步长,φi为某阶主振型,ki为该振型的主坐标[5]。主振型可以通过实验或者有限元分析软件获得。这样对于一组确定的ki就可以确定出板上任意一点的横向和纵向应变,将两个方向的应变叠加,得到该点的总应变。结构的振动响应中各阶振型所占的比例并不是相等的,一般是前几阶的振型所占比例大,因此在实际计算过程中通常只考虑前几阶振型。

　　3　传感器的优化布置