圆柱度误差评定及其不确定度估计

　　圆柱度误差是限制实际圆柱面对理想圆柱面变动量的一项指标,是半径差为公差值的两同轴圆柱面之间的区域。根据新一代产品几何技术规范 (GeometricalProductSpecifica-tion,GPS)对圆柱度误差进行检验时,不但要给出其测量结果,而且应当给出其测量结果 的不确定度,并依据ISO 14253-1给出的判定原则对被测圆柱进行一致性比较[1]。圆柱度误差的评定方法有最小区域法、最小二乘法、最小外接圆柱法和最大内接圆柱法等四种, 其中最小二乘评定法是应用最广泛的方法。然而,目前的三坐标测量机和圆柱度仪等测量系统往往只是给出圆柱度误差最小二乘检验的结果,并没有给出检验结果的 不确定度,这不仅不能保证测量数据的有效性和完整性,而且将影响和制约产品的质量评定和质量保证,与新一代GPS标准的要求也不相符。下面基于新一代 GPS给出圆柱度误差最小二乘评定的数学模型,推导该模型的不确定度估计公式,并进行实例分析和应用。

　　1 基于GPS的圆柱度误差最小二乘评定模型

　　根据新一代GPS标准,圆柱度误差最小二乘检验操作算子由分离、提取、拟合、集成和评估等几个操作组成,如图1所示:

　　(1)分离,首先将被测实际要素从工件中分离出来,置于空间直角坐标系O-xyz中,且令Oz坐标轴为提取采样时的回转轴线,如图a所示。

　　(2)提取,根据ISO 12180-2[1],圆柱要素的获取有鸟笼提取方案、圆周线提取方案、母线提取方案和布点提取方案等四种,这里选用圆周线提取方案,如图b所示。设有m 个采样截面,每个采样截面上又等间隔地提取n个离散采样Pij(xij,yij,zj)(i=1,2,,,n; j=1,2,,,m)。

　　(3)拟合,采用最小二乘评定基准圆对各离散采样截面轮廓进行拟合,如图c所示,得到最小二乘圆心Oj(aj, bj,zj)。

　　(4)集成,将各采样截面轮廓的最小二乘圆心Oj(aj,bj,zj)集成起来替代被测圆柱实际轴线,如图d所示。

　　(5)拟合,采用最小二乘评定直线对被测实际圆柱轴线进行拟合,得到最小二乘圆柱轴线L,如图e所示。设最小二乘圆柱轴线L与O-xy坐标平面交点为A0(x0,y0,0),L的方向向量为S{p,q,1},则L的方程

　　(6)评估,由于测量时的基准要素与评定时的理想要素之间必然有偏差,在评估时应作微量调整。由(1)式求出最小二乘评定直线的方程后,要进行 坐标变换,使最小二乘直线与新坐标系的z'轴重合,将所有的测量点Pij转换到新坐标系中形成新点P'ij(x'ij,y'ij, z'j)。由微分变换公式可得到坐标变换矩阵T

　　其中,n1、n2、n3为最小二乘直线方向余弦

　　设最小二乘圆柱半径为R0,各离散采样点P‘ij到最小二乘圆柱轴线L的距离为rij,径向偏差为Eij。根据最小二乘法原理,有