两椭球体接触时应力计算式的简化与应用

　　众所周知,一般齿轮传动设计中所应用的一项重要准则是确保齿面足够的接触疲劳强度[1]。渐开线直齿圆柱齿轮齿面接触应力计算直接借用线接触时的赫兹应力公式。至于点接触的应力计算,传统机械设计教材并不作任何交代。事实上,点接触的情形应是很多的,如球轴承、螺旋齿轮传动、矫直辊与重型钢轨踏面的接触等都属于点接触问题。这种情况下的应力计算可以从文献[2]中找到答案。

　　1　两椭球体接触时的接触应力计算简介

　　设两椭球在任一点接触并相互挤压,如图1所示。图中R1,R′1, R2,R′2分别为两弹性体在接触点处的主曲率半径。

　　归纳文献[2]所给出的计算过程,可求出图1所示同类材料两弹性体的最大接触应力公式为:

　　式中:k———载荷系数;

　　E、μ———分别为材料弹性模量和泊松比;

　　Cσ、Cb———分别为与比值B/A有关的系数。

　　表1所列数据是从文献[2]的图中读取的,A和B则分别为

　　2　最大接触应力计算式的简化

　　实际计算点接触的接触应力时,式(1)使用起来并不方便。特别是确定系数Cσ和Cb时,需涉及到比值B/A的繁杂计算。因此简化整个计算过程是很有价值的。

　　观察式(1)、式(2)和式(3)的结构,可以从以下几方面简化计算过程。

　　(1)分别将A和B一分为二,则有:

　　其中CH与比值B/A的关系已一并在表1中列出。

　　(3)工程实际中,弹性体主曲面夹角多为0°和90°,因此完全可以针对工程应用中有普遍意义的情形来简化B/A的计算,进而可方便地由表1确定系数CH。

　　3　点接触时最大接触应力简化计算式的应用

　　3.1　重型钢轨矫直时的接触应力

　　矫直辊与钢轨的接触如图2所示。对照图1,上矫直辊与钢轨的主曲率半径分别为R1=300,R′1=∞,R2=500,R′2=∞,α=90°,则C =1.33×10^-3,由式(8)可得B/A =1.67,进而由表1插值得CH=0.57,取E =2.05×10⁵MPa,μ=0.3,在矫直压力为7.25×10⁵N,且k =1的情况下,由式(6)可求出作用在上矫直辊表面的最大接触应力为:^σHmax=2 312 MPa。

　　这一计算结果为分析矫直辊表面的过早失效提供了重要的理论依据[3]。

　　3.2　磨损试验时,试件表面的接触应力^[3]

　　在M200磨损试验机上进行模拟试验时,按上述简化过程可方便地计算试件的接触应力,或者可以方便地由给定应力值确定应施载荷大小。