大型非球曲面光学零件步长伸缩双圆弧插补技术研究

　　当今, 非球曲面光学零件的超精密加工技术已成为各国在超精密加工领域中争相发展的关键技术, 其已广泛应用于航空机载设备、激光制导、红外探测及激光视盘装置、录像机镜头、条形码读出头、光纤通讯接头、医疗仪器等诸多军用和民用领域中[1,2]。非球曲面光学零件轮廓曲线都是由双曲线、抛物线、椭圆和螺旋线等二次曲线构成, 而大多数数控系统只能提供直线和圆弧插补功能。为此, 本文针对所研制的大型非球曲面光学零件超精密数控机床提出了一种适用于拟合非球曲面的“步长伸缩双圆弧插补”算法。

　　1 光学通用方程[3,4]

　　非球面光学零件就是由一个或两个与球面 (包括平面)有差异的光学表面构成的光学零件。在这些非球面中最常见的是有一个对称的回转非球面, 如双曲面、抛物面和椭球面等, 如图 1 所示。

　　实际应用中的各种光学非球面都可以采用一个通用的方程(1)来表示。

　　2 步长伸缩双圆弧插补算法原理[5-11]

　　步长伸缩双圆弧插补的基本原理是在非圆平面曲线的每两个相邻节点之间作两段相切圆弧, 同时过同一节点所作的左右两段圆弧也在该点处相切。利用按此构成总体一阶光滑的圆弧样条去逼近非圆曲线。采用步长伸缩双圆弧法逼近非圆曲线, 计算过程比相切圆弧法简单得多。并能根据实际误差与允差!允的大小自动调节插补步长, 实现对节点位置的控制。这样可以保证双圆弧逼近各区段插补误差小于且又接近于编程允差。

　　2.1 局部坐标系

　　采用步长伸缩双圆弧法逼近非圆曲线, 双圆弧中各几何元素间的关系是在局部坐标系下计算完成。但需在整体坐标系下提供出双圆弧计算所需的全部数据, 计算完成后再变换为整体坐标系下的坐标数据并输出。

　　在双圆弧逼近非圆曲线中, 由于要确定两段圆弧需要 6 个条件, 现已知曲线上两节点的坐标及切矢 4 个条件。而双圆弧的公共切点和切矢未知, 因此, 所选连接点的位置和切矢方向不同, 必然导致连接点位置及双圆弧半径的变化, 从而就能生成不同的双圆弧曲线, 这样就能在不改变两节点跨距的前提下, 对双圆弧逼近实现误差控制, 以求得最优双圆弧逼近, 提高逼近精度。

　　如图 2 所示, 在 XOZ 坐标系中, 曲线方程可用z=f(x)表示。在曲线上任取两相邻节点 Pi(xi, zi)和 Pi+1(xi+1, zi+1), 若曲线存在拐点, 则应在拐点出分开并分别计算。过 Pi和 Pi+1点分别作曲线的切线 m1和 m2交于 G 点, 并连接 Pi、Pi+1两点, 得到 ΔPiPi+1G。实际上, 两相切圆弧连接点的轨迹是过两节点 Pi、Pi+1和ΔPiPi+1G 内心 N 的一段圆弧。如图 2 所示作双圆弧的公共切线 T, 其中 T 平行于曲线在相邻两节点处切线交角的平分线, 并使左圆弧在 Pi点与 m1相切,右圆弧在 Pi+1点与 m2相切, 这种方法可称为平均转角法双圆弧逼近非圆曲线。图2