位置差分数字测速传递函数的推导

　　1　引　　言

　　在经纬仪等全数字跟踪伺服系统中,速度反馈一般是通过绝对式轴角编码器经位置差分实现的,即所说的位置差分数字测速。基于连续系统设计法的速度回路校正需要速度反馈的传递函数,以设计合理的校正控制器。文献[1]、[2]等将位置差分数字测速传递函数等效为纯延迟环节,其实是不合理的。通过本文推导和仿真验证表明数字测速传递函数等效为一个微分和惯性环节的组合更为合理,同时给出了满足等效的工程条件。

　　2　位置差分数字测速传递函数推导

　　绝对式轴角编码器测得的是角位置量,角位置量对时间求导,即可得到角速度。即

　　v—角速度,θ—轴角编码器获得的角位置信息。在离散化时域,(1)式的差分方程形式为:

　　K—采样时刻(取1,2,3……),Tf—采样时间间隔,θ(K)—K时刻角位置量

　　连续系统的设计方法是建立在传递函数基础之上的,因此需要将(2)式差分方程的形式等效转换为连续系统传递函数的形式。

　　对差分方程(2)式进行z变换,得

　　系统的脉冲传递函数为

　　2.1　由Z变换定义推导

　　由Z的定义,T为采样周期,这里T=Tf,因此(4)式转换为连续系统的传递函数为

　　由于式(5)中包含指数函数,使系统成为非最小相位系统,分析和设计都比较麻烦,可将其进行工程简化[3]将按泰勒级数展开,得

　　考虑到Tf很小(一般≤0.005s),忽略其高次项,近似表示成

　　则(5)式可近似表示为

　　能将(6)式近似成(7)式的条件是Tfs 1,然而s本身是个复变量,近似条件不明确。按自动控制原理,将s换成jω,便得到相应的幅相频率特性。于是

　　(8)式近似成的条件是

　　后者包含在前者之中。因此,(7)式成立的条件是。从工程上看,只要,就认为 1了,于是

　　这意味着闭环控制系统的通带带宽ωb小于。通常,系统开环频率特性的截止频率一般略低于闭环频率特性的频带ωb,作为近似条件,粗略地取

　　这是近似成的工程近似条件。一般Tf≤0.005s,ωc取值范围可完全符合工程近似条件。

　　2.2　由双线性变换公式推导

　　利用双线性变换公式

　　可以将连续系统离散化。同理,由(8)可得,

　　将(9)代入(4)得

　　比较(7)和(10),均匀微分和惯性环节,只是极点大小不同。这是工程化时,忽略次要项的不同所致。所以,数字测速反馈的传递函数等效为一微分和惯性环节的组合,而不是延迟环节。我们可以通过仿真验证推导的正确性。