基于自由度缩减方法构造MEMS器件宏模型

　　1　引　　言

　　集成电路工业的成功发展,得益于有成熟的CAD软件可以对产品进行快速准确的模拟和测试。同时也期待MEMSCAD软件具备相同能力。然而,MEMS多物理场耦合、高度集成特性,使得计算量极大。虽然快速算法及高性能计算机的发展使得用有限元、边界元和有限差分法等“强力”求解偏微分方程(PDE)的能力已经达到令人惊讶的地步。但在处理多个器件阵列组成的MEMS装置、系统级仿真和优化等问题时,这些方法几乎无能为力。因而,宏模型或缩减自由度模型(CM或ROM),作为足够的仿真精度与必要计算效率之间的一种平衡而获得广泛关注[1]。

　　目前,MEMS设计都强调自顶而下的设计方法,注重对系统整体性能的把握。系统级仿真主要是将系统中非电域(机械、流体等)的子系统,用统一有效的方法表示成电域中的等效子系统(即ROM),以利于用系统模拟器(如SPICE、Saber、Simulink等)仿真。因此要求器件宏模型要有一定精度,其提取过程计算费用要合理且尽可能地自动化;又要与MEMS的系统级模型描述一致,可直接插入到系统模拟器中进行计算仿真。可以采用等效电路或硬件描述语言(VHDL2AMS、Verilog2A、MAST等)方法描述宏模型,两者都可实现与系统仿真器的无缝连接。

　　2　建立MEMS器件宏模型的方法

　　对于复杂MEMS结构,通用的方法是把器件的PDE经空间离散后,直接利用模型自由度缩减(MOR)方法来产生宏模型。可大致归纳为如图1所示的几种方法。MOR的基本思想是将原来大自由度数的系统经过变换等方法,转换成一个低自由度数系统,来近似表达原系统动力特性[2]。限于篇幅关系,本文只关注基于离散后节点矩阵的映射变换建立ROM的方法(图1中虚线框所示)。

　　考虑由一阶常微分方程组(ODE)表示的动力系统,方程的表达式为:

　　如果可以构造变换矩阵[T]nq,将{x}的维数从n缩减到q〈〈n,即:

　　并使得式(2)的偏差[ε]按某种范数标准最小。

2.1　线性系统ROM的提取

　　应用于LTI或LTV系统的MOR方法大致分为:

　　(1)基于Krylov子空间的Pade近似;

        (2)Hankel范数近似和平衡截断近似(TBR);

        (3)Karhunen2Loeve展开(KLD)(或本征正交分解POD)。

　　基于Krylov子空间方法是用Arnoldi[3]或Lanczos[4]算法为系统(1)的子空间Kq{[f/x],[B]}产生一个正交基,用它来构造转换矩阵[T]nq。这两种方法都等效于在S空间中的矩匹配方法。因而,缩减系统的传递函数在一个或多个选定的频率点附近能够很好地近似原系统的传递函数。Lanczos算法计算效率较Arnoldi算法高,但稳定性稍差。由于基于Krylov子空间算法稳定且计算费用低廉,为较大规模系统的缩减提供了一个适合方法。但其通常无法进行全局的误差估计,且无法保留原系统的稳定性和无源性。不过,已经证明,如果同余式变换保持了矩阵的正定性,那么无论是稳定性或无源性都能够被缩减后的系统保留[5]。文献[5]对采用Lanczos算法的MOR,提出一个用局部误差估计值来监控矩匹配数量的方法。这对工程实际的应用极具参考价值。