三点法误差分离测圆信号的精度分析

　　0　引　言

　　60年代末日本大园成夫提出的三点法测圆原理,经各国学者近30年不懈努力,克服了一系列理论及技术障碍,现已不断完善并投入实用.我国及日本等国相继研制出误差分离(EST)测试系统,用于高精度检测圆度及主轴回转精度.但据文献检索,该系统的精度分析目前尚未见报道.本文对组成组合信号的各环节作精度分析,在实测各环节的实际精度后,综合出组合信号的总精度.这种方法对复杂系统的精度分析有一定的普遍意义.

　　1　三点法EST基本方程及其求解

　　附图所示的是三点测量原理图[1,2].设A、B、C3个测头的轴线在一个平面内且交于一点O,作与三测头固联的静坐标系Oxy,使Ox与A的轴线重合,记∠AOB=φ1,∠BOC=φ2.设被测工件顺时针旋转,取工件轮廓曲线的最小二乘圆圆心O’为极心(O’预先不必求出)作极坐标系与被测工件固联,极角θ逆时针取向,以S(θ)标识轮廓曲线.视被测工件作刚体平面运动,故可以在该截面内任取一点(例如O’)作极心,用跟随极心的平动{x(θ),y(θ)}及绕此极心的纯转动来描绘它.通常称x(θ),y(θ)为O’的回转误差运动的水平与垂直分量.这样,得三点法EST原始方程组为

　　式中:A(θ),B(θ),C(θ)分别为三传感器的输出信号(已减去其直流分量,并乘上各自的标定系数).消元后可得到三点法基本方程为

　　式中,C2=-sin(φ1+φ2)/sinφ2,C3=sinφ1/sinφ2,是完全由传感器安装角φ1和φ2决定的常数.而组合信号为

　　是三传感器信号的线性组合.

　　式(2)左边是形状误差S(θ)不同相位的线性组合,因而是周期函数,如将S(θ)与D(θ)作傅立叶展开,得

　　式中an,bn,Fn,Gn分别为S(θ)和D(θ)的傅立叶系数.经推导,比较各阶系数得

　　式中

　　定义1　若存在互质整数m1,m2,N0,使N0Δθ=2π,m1Δθ=φ1,m2Δθ=φ2,则称Δθ=(φ1,φ2,2π)是φ1、φ2、2π的最大公因角.若这样的互质整数不存在,称φ1,φ2,2π为无公因角,记为Δθ=(φ1,φ2,2π)=0.

　　定义2　将式(6)写成复数形式:

　　并称式(7)为k阶权函数.

　　定理1　若Δθ=(φ1,φ2,2π)≠0,记N0=2π/Δθ,则有W(lN0±1)=0 (l为任意整数),而k≠lN0±1时,W(k)≠0;若Δθ=(φ1,φ2,2π)=0,则仅W(±1)=0,k≠±1时,W(k)≠0.

　　证明从略.

　　定理2　若①被测工件截面轮廓最高谐波次数为Nb;②三传感器安装角φ1、φ2、2π间存在最大公因角Δθ=(φ1,φ2,2π).记N0=2π/Δθ,则仅当N0>Nb+1时,基本方程式(2)有解;当N0≤Nb+1时,无解.

　　证明　若条件满足,除a1、b1外,alN0±1=blN0±1本来就为零(l=1,2,…).故n=1及n=lN0±1时,都令an=bn=0,这样只是人为地令a1=b1=0,只相当于将极心O’放到了曲线的最小二乘圆圆心,并不改变曲线的形状.当n≠1及lN0±1时,因W(n)≠0,故e2n+f2n≠0.由式(5)可得