用高阶隐式矢通量分裂格式求解平面叶栅的跨音流动

　　1前言

　　现代叶轮机械(叶轮式原动机和叶轮式工作机)都向着高效率方向发展，航空发动机、工业燃气轮机、蒸汽轮机等原动机还不断提高功率，因而必然会对其通流部分的设计提出更高的要求。而叶栅流动结构极为复杂，有二次流、边界层的发展转披现象、分离及再附、以及级间的干涉等等，同时由于单级功率的提高，现代叶栅还部分工作在亚音、部分工作在超音的跨音流动状态。因此对叶栅流场的研究、设计应从两方面着手，一是叶栅粘性绕流问题，另一是叶栅内的跨音流动，同时还要注意叶栅的变工况性能。本文采用隐式矢通量分裂格式直接求解BFC坐标系下的Rcynolds平均Navier一Stokes方程组。使用该算法结合Baldwin&Lomax湍流模型数值求解跨音叶栅的粘性绕流问题，给出部分计算结果并与实验进行了比较。

　　2计算方法

　　在任意曲线坐标系下，二维无因次N一S方程组的守恒型如下:

　　其中

是实际坐标(x，y)，是任意曲线坐标4，p是压力，是密度，u、v分别是x、y方向上的速度，是总能，r是气体绝热指数，T是温度。

　　对层流计算，u用Sutherland公式计算，k由得，常数c_p、P_r可由物性参数表查得。对湍流采用Baldwin & Lomax的湍流模型其中为层流的动力粘性系数和热传导系数，为湍流的涡粘性系数和热传导系数，由模型半经验确定，

　　应用Steger-Warming分裂原理[3]对矢通量13进行分裂，可得:

　　其中

　　计算时用2中的特征值或零，计算云时，λ_1、λ_2、λ_3、λ₄用中的特征值或零。式中

　　由无矩阵运算、无近似因子分解的隐格式构造思想^[l]，再结合矢通量沿不同方向分裂的特点，在方程组(2)右端添加高阶无穷小量，可得:　

　　其中分别是与的特征值有关的标量。这些添加项都是与有关的非定常项，对方程的定常解认为是没有影响的。添加的高阶小量实质上是一种隐式残差平滑手段，详见文献^[3}

　　对式(3)差分展开，整理可得:

　　根据稳定性分析，式中入取下述各式时，式(4)是无条件稳定的。

　　求解时，在显式部分采用二阶精度的单侧三点前(后)差，粘性项采用中心差分，在空间上具有二阶精度，且格式构造中没有二阶耗散、也未加入任何人工粘性，因此该方法精度较高，同时避免了近似因子分解和繁杂的矩阵运算，稳定性好、收敛也较快。对式(4)的求解，可在i站上沿η方向用追赶法直接解，从而提高了求解的效率，大大地减少了计算量。