具有相关元件的串联系统的可靠度研究

　　1 引言

系统中任何一个元件的失效均构成系统失效的这样一种系统称为串联系统[1]。串联系统模型是最常用的系统可靠性模型之一，通常都是简单的在各元件相互独立的假设条件下对系统进行可靠性分析，然而大多数串联系统的各元件之间并不是完全独立的，元件之间相互依存，一个元件失效时与其相关的其它元件将受到一定影响。文献[2]和文献[3]均对具有相关元件的串联系统进行了可靠性分析。本文通过实例计算与误差分析说明这两种方法简便快捷，精度高，适用于工程实际。

　　2 布尔函数与图论结合法[2]

　　2.1

　　系统可靠度矩阵

　　为了精确分析串联系统的可靠性，必须深入地分析元件之间的相互作用及影响程度。引入元件可靠度矩阵 Rc、元件连接矩阵 Ω 和系统可靠度矩阵 Γ。如果系统由 n 个元件 (元件可靠度是 Ri)构成，则元件的可靠度矩阵定义成：

　　设ωij表示部件i和j之间的物理联系关系，则对于串联系统:

　　式(3)中：I- 单位矩阵;

　　Γ- 变量特征可靠度矩阵。

　　对于元件相互独立的串联系统，元件连接矩阵 Ω 是平凡阵，即所有ωij=0。

　　2.2 布尔函数及 B- 树

　　布尔变量是指可取 {0, 1}的变量。令 X={X1, X2, … ,Xn}是布尔变量的集合。布尔函数就是将集合 X与{0, 1}对应的映射关系。布尔函数在可靠性理论中是一个非常重要的算法。假如系统有 n 个元件，将 n 个元件与 n 个布尔变量对应，即元件 Ci与布尔变量Xi就可以表示成：

　　这样系统的状态就决定于各元件状态及其具体的函数关系，假设系统状态对应的布尔函数为φ ，则它的状态变量与元件的关系就构成函数关系：

　　为使系统的布尔函数更直观，这里介绍一种被称为“布赖恩特(Bryant )”的树，简称“B-树”。 B-树图形由终节点和非终节点构成，这些节点由边连接起来。终节点取0或1，非终节点对应于基础顶点 ，这些顶点又与树的其它顶点联系在一起。每个非终节点分出两个分枝，其中一个称为0-枝，表示系统正常;另一个称为1-枝，表示系统故障。因此，所有的路径最终结束在B- 树两种状态之一处，要么是 0- 态，系统正常;要么停在1- 态，系统故障。由四个元件组成的串联系统的 B-树，如图1 所示。

　　设φ 是定义在 X 上的布尔函数，而 Xi是X 的分量，根据香农分解定理，有：

　　φ=[Xi∩φ(X=1)]∪[Xi∩φ(X=0)]，(i = 1, 2, 3, … ,n) (6)为了计算物理相关性，要对每个基本事件逐个计算其 φ，再以此构成 B- 树。