轴对称弹性应变梯度理论公式推导及有限元实现

　　1　引言

　　传统的连续介质理论假定材料均匀、连续。试验[1]表明,当非均匀塑性变形特征尺度在微米量级时,材料具有很强的尺度效应。经典弹塑性理论的本构关系不包含特征长度尺度,它不能预测材料力学性能在微米尺度下的尺寸效应;另外,经典的弹塑性理论也不足以解释岩石和混凝土结构中的应变局部化现象。

　　偶应力以及在偶应力理论基础上发展起来的应变梯度理论是能够解释上述尺寸效应和变形局部化的有效方法。偶应力理论于1909年由Coss-erat兄弟提出[2],引入了偶应力张量,应力张量不再对称。在偶应力理论基础上发展起来的应变梯度理论同时考虑了旋转梯度和拉伸梯度,更能反映细观材料的尺度效应和变形局部化效应。近年来应变梯度理论的研究很受重视,产生了多种应变梯度理论[3-6]。

　　应变梯度理论较经典理论复杂,有限元法仍然是有效的求解方法。目前,关于应变梯度理论有两种提法。一种考虑了高阶应变,即应变梯度与位移有关,要求单元函数满足C1连续条件。Zervos[7]用已有的满足C1协调的18-DOF的薄板单元函数研究了厚壁筒的局部化和尺寸效应。另一种提法[8,6]认为应变梯度独立于位移,在有限元描述中只需要C0连续的单元。总的来说应变梯度有限元的研究还处于数值计算滞后于理论的局面,制约了应变梯度理论的发展及其应用研究。现在建立的不协调的单元函数都只考虑分别满足常应变C0连续条件和常曲率C1连续条件。陈万吉[9]提出了同时满足C0和C1连续的应变梯度有限元和C0-1分片检验。目前的应变梯度理论文献,基本公式多建立在笛卡尔坐标系中。

　　应变梯度理论在轴对称情况下的推导比较困难,不能直接套用笛卡尔坐标系下的表达式。本文按张量运算,推导了轴对称弹性应变梯度问题的基本公式。构造经典力学的薄板C1连续单元已有成熟的模型,可以将其推广到细观力学建立平面应变梯度单元,但是,用于建立轴对称应变梯度单元,会遇到一些新问题。本文应用精化不协调元方法[9],建立了一种新的轴对称应变梯度单元的弱C1连续条件,并依此构造了适用于轴对称应变梯度理论的精化不协调元(BCIZ+ART9)。

       2　应变梯度理论基本方程

　　3　轴对称应变梯度理论公式推导

　　3·1　推导中用到的张量知识[10]

       4　应变梯度轴对称18-DOF三角形单元(BCIZ+ART9)