结构相似模块的变换

　　1　相似弹性结构间的力学性能关系

　　结论 在弹性比例极限内两结构如果:(1)材料相同;(2)几何相似;(3)均不计体力;(4)边界上外力集度对应相等,则两者的应力、相对线位移,稳定状态对应相同。

　　证明　设结构A与结构B几何相似,其比例系数为K,即B中某线段的长度与A中对应线段的比为K.设结构A的应力为σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx,这组应力应满足如下方程:

　　(1)平衡方程

　　(2)边界条件

　　(3)相容条件

　　对于结构B,引入坐标变换

　　这里一律以Ó表示B在新坐标中的量。B在新坐标系中的平衡方程和相容条件可化为与结构A在x_y_z坐标系中相同的形式,但其边界条件变为

　　显然

　　是其一组解,又据解的唯一性,式(6)就是结构B的解。将这组应力变换到x_y_z坐标系中应均乘以,代入式(6)可知结构B的应力与结构A对应点的应力完全相同。

　　由虎克定律可知当两结构材料相同,应力对应相等时其应变也对应相等。于是结构的相对线位移,即结构某点的位移与结构某尺寸的比对于两结构也必相等。

　　结构A与结构B的应力和应变对应相等,结构A的应变能为

　　结构B的应变能UB的数学表达式与式(7)比仅积分区间不同,结构B的体积为结构A的k3倍,所以

　　结构B外力功VB的数学表达式与式(8)相似,但其表面积为A的k2倍,位移为A的k倍,于是

　　于是总势能

　　失稳临界荷载取决于总势能的变分为0这一条件,由式(9)可知,这一条件对结构A、B是相同的,因此两结构的稳定状态相同。

　　2　相似模块的基本变换方法

　　根据上述相似结构间的力学性能关系,如果已存在某一合理设计的结构,则可简单地依相似性设计出一系列合理的结构。比如可以根据一个较小尺度的结构相似变换设计出一个较大尺度的结构。这种选定的合理的基本结构被称为模块。模块可以取自事先设计好的基准结构,也可取自实际工程中成功的实例,甚至可以取自对力学性质尚未完全分析清楚但经验证明可以使用的结构。有了这些模块之后,就可以按下述方法迅速设计出要求的结构:

　　(1)查阅或从计算机中调出与拟设计结构最接近的模块。

　　(2)根据主要尺寸的要求确定拟设计结构与模块间的比值k.

　　(3)根据模块尺寸和k值确定拟设计结构的各部尺寸。