用时间相关法求解定常粘性流场的加速收敛法

　　1　引言

　　时间相关法由于将定常和非定常问题统一地用一组双曲型的偏微分方程组来描述,类型确定,算法易于设计,从而自70年代以来,倍受人们的关注。时间相关法分显式推进和隐式推进两种。对定常问题,加速收敛的意义在于取定初场后,经较少的时间步使流场收敛趋于定常,这时对加速收敛起决定作用的因素有两个,一个是加大CFL数,另一个是格式本身的精度。下面我们就模型方程分析一下影响显、隐格式CFL数大小的因素。

　　方程的条件是稳定性条件,超出这个条件时,式(2)就不能作为式(1)的近似方程。这说明显式离散在加大稳定性时间步长方面有一个不可逾越的障碍———CFL数必须小于等于1。实际应用时,人们为了加大CFL数增大时间步长Δt,常采用Runge-Kutta方

　　式(6)和式(3)的精度相同,但式(6)无条件稳定。因此在增大时间步长,减少时间步方面最有效,最直接的方法是采取隐式离散,但是和显式离散相比,隐式方法的缺点在于:(Ⅰ)边界条件难于处理;(Ⅱ)向量运算时,难于求解;(Ⅲ)不象显式方法,易于结合Rung-Kutta方法提高时间方向的精度。

　　如何兼顾显、隐格式的优点,构造一个易于加速收敛的方法呢?作者针对模型方程作了详细的讨论

　　2　隐式加速收敛方法

　　为了兼顾显、隐格式的优点,即克服引言中提出的隐式格式的三个缺点,我们利用Taylor展开法,结合TVD格式,构造出一类具有显式边界,适合于向量运算的隐式加速收敛方法。方法反映一维粘性特性的

　　式(9) ~式(13)都是关于时间t的半离散多步方法,前四式为隐式,最后一式为显式。实际应用时,考虑到稳定性和存储量一般选用式(9)、式(10)。到

　　储量有所增加,但和式(4)相比,同为时间方向的4阶精度,但减掉了中间步的计算,因此,总体上要比Runge-Kutta方法经济。另外,式(9″)待求的未知量为δun+1j,且构成线性三对角方程,求解难度大大低于(9)。以δun+1j为未知量,可使边界处理显式化,这是这一方法的另一优点。

　　从式(9)~式(13)我们看到,由于都是从Taylor展开式等价转化来的,自动满足相容性。其表现形式就是,不管涉及到几层空间物理残差,其代数和都是一个时间步长Δt。式(9″)依然保持这一特性。另外这种半离散化处理,使空间物理残差的离散化可单独处理,格式灵活,使用方便。隐式项δun+1j主要起增大时间步长的作用。显式项Δunj等主要起提高激波分辨率的作用。

　　这种数值方法可推广到三维,只是时间方向的精度要降一阶,但是稳定性的时间步长依然可以取的很大,如下节的三维数值算例,CFL数可达10以上。