弹性力学问题Marc求解与边界元求解比较

　　弹性力学问题模型见图 1，中空活塞气缸受内部压力，要对其变形进行分析，属于平面应变问题，受内压 p=100 MPa，已知活塞气缸内外直径分别为20 mm 和 50 mm，弹性模量 E 为 200 000 MPa，泊松比为 0.25。

　　对于此类弹性力学问题的求解，一般都是采用有限元或边界元法求解。由于活塞气缸本身对称，所加载荷也对称，对于研究其变形情况，可以只研究一些 具有代表性的节点的变形情况，而不必要去研究整个区域内的节点，只需要研究在水平方向上的三个节点，如图 2 所示的 A，B，C 三点的径向位移，就可以知道整个气缸的变形情况，随着 Marc 软件的引入，问题的求解更加方便，结果处理也很直观。尽管对此类问题已经有人用有限元分析过，但同时用有限元法和边界元法对此类问题进行分析求解，并根据 相对误差，对两种结果进行比较，进行优化选择的结论还很少。本人首先给出计算模型，运用弹性力学和边界元的相关理论推导出有限元和边界元相应的基本公式， 然后分别用 Marc 软件和边界元法源程序求解模型，把所求数值解与解析解进行比较和分析，并计算数值解相对解析解的误差。通过分析误差的大小，得出一些关于有限元和边界元法 的新的结论。

　　1 Marc 软件的简介

　　Marc 软件是融合结构、热流体、电磁、声学为一体的大型有限元通用分析软件。该软件可广泛应用于机械制造、能源、汽车交通、土木工程等一般工业以及科学研究领 域。Marc 计算分析过程主要由建立模型、网格划分、加载求解和结果显示四部分组成。它为用户提供了强大的实体建模以及网格划分工具，将直接建模和实体建模相结合，可 对各种物理场量进行分析。将前后处理及求解阶段相结合，可以对计算结果进行彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、变形显示以及各种动画显示等，使用非常方 [1]。

　　2 弹性力学问题的有限元公式

　　弹性力学平面问题的基本方程有(用指标记法表示)平衡方程、几何方程、物理方程。

　　将几何方程式(2)代入物理方程式(3)，可得到应力和位移分量的关系式。再将这关系式代入平衡方程式(1)，就得到按位移求解平面应变问题的基本方程式(4)[2]。

　　平衡方程用矩阵表示为：[K]{d}={f}，其中，[K]是单元刚度矩阵，{d}是单元节点位移分量，{f}是单元节点荷载分量[2]。

　　3 弹性力学问题的边界元公式(不计体力情况下)

　　式(5)是区域内任意点的位移分量和边界上的面力分量、位移分量之间的关系式。此式对于区域内任意点都适用。将边界进行离散，分割成 NE 个单元，得到离散的边界积分方程为式(6)。