圆形截面杆纯弯曲回弹弯矩的计算

　　0　前　言

　　经典弹塑性纯弯曲理论把回弹弯矩定义成弹塑 性弯矩。以此计算出回弹曲率、回弹角与实际情况 误差较大。这一方面是由理论存在条件与实际工况 存在差距造成;另一方面是理论自身缺陷,即理论误 差造成的。在资料[1]、[2]、[3]中均未推导和给出 弹塑性弯矩等于回弹弯矩的证明。在不考虑残余应 力的情况下,经典理论是正确的。在实际工况下,残 余应力不容忽视,否则就造成很大的理论误差。在 考虑残余应力的情况下,回弹弯矩和回弹曲率计算 公式推导如下。

　　1　弹塑性纯弯曲回弹过程

　　弹塑性纯弯曲回弹在弹性回弹应力作用下进 行。分为二个阶段,第一个阶段从回弹开始到截面 上最大应力降为零,叫一次回弹;第二阶段从第一阶 段结束到全部回弹结束,叫二次回弹。二次回弹是 由一次回弹残余应力继续作用导致应力重新分布引 起。一次回弹弯矩、回弹曲率分别用表示。 二次回弹弯矩、回弹曲率分别用表示。两次 回弹其应力应变变化过程如下。

　　1·1　应力变化

　　两次回弹应力变化过程如图1所示。图1c)为一次回弹后应力分布,图e)为二次回弹后应力分布。

　　1·2　应变变化

　　两次回弹应变变化过程如图2所示。图2c)为一次回弹后应变分布,图2e)为二次回弹后应变分布。 

　　1·3　弹塑性纯弯曲残余应力和应变函数

　　根据弹塑性力学理论,残余应力函数可推导为:

　　式中:E—弹性模量,σs—屈服极限,he—弹性核高;残余应力分为二个部分,即塑性残余应变和弹性残余应变。同理,弹性残余应变可推导为:

　　其中ε、ε′、ε″分别为弹性应变,一次回弹应变,二次回弹应变。根据图2a)、b)、d)可写出ε、ε′、ε″表达式代入上式,有:

　　2　回弹曲率计算

　　从(1)式和(2)式可知,残余应力和弹性残余应 变函数中存在未知量可根据弹性极 限弯矩求得。利用平衡条件,建立方程可解出 截面上静力矩之和为零。那么,圆形对称截面上有:

　　3　回弹弯矩的计算

　　根据材料力学理论和回弹曲率表达式(4’),当ρ=2~15d时,回弹弯矩M的近似解为:

　　4　M、Me1、Mp比较

　　4·1　M与Me1

　　弹性极限弯矩Me1可按材料力学公式给出如下:

　　显然,在计算回弹弯矩时,可以用(5)式直接计算,也可以用弹性极限的2·36倍代替。