轴线直线度和同轴度误差的理论研究

　　机械零件的轴线直线度和同轴度误差对机械产品的质量有很大影响.但是,用传统的测量方法只能得到轴线直线度和同轴度误差的近似值.因此均不能令人满意[1,2].为了得到轴线直线度和同轴度误差的准确值,必须建立符合这两项误差定义的数学模型并开发相应的计算机数据处理软件.因此本文建立的数学模型对保证与提高机械产品的质量具有重要意义.

　　1　建立数学模型

　　将被测零件置于图1所示的直角坐标系OXYZ中.令Z坐标轴为获得采样数据时的回转轴线.

　　对轴线直线度误差(图1a),在垂直于Z坐标轴的各采样截面轮廓上等角度间隔的离散采样点处获得采样数据.令各采样点的位置向量为P→ij={Δrij,θi,zj}(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n).其中Δrij为各采样点的半径增量,θi为各采样点的角度,zj为各采样截面的Z坐标值.对同轴度误差(图1b),在基准实际要素和被测实际要素的垂直于Z坐标轴的各采样截面轮廓上的等角度间隔的离散采样点处分别获得采样数据,相应采样点的位置向量分别为P→ij={Δrij,θi,zj}和Q→ij={ΔRIJ,θI,zJ}(I=1,2,…,M;J=1,2,…,N).

　　令各采样截面轮廓(图2)的最小二乘圆心的位置向量为O→j={aj,bj,zj}和O→J={aJ,bJ,zJ},则可求得[3]

　　令基准轴线L为基准实际轴线的最小二乘轴线,该基准轴线L的方向向量为S→={g,l,1},轴线L与XOY坐标平面交点的位置向量为A→0={X0,Y0,0}.在离散采样的情况下,基准轴线L的方程可写作:

　　下面求满足式(5)条件的X0和g.

　　将式(4)改写作

　　令D=[a₁,a₂,…,an]^T,P=[X₀,g]^T,则正规方程组的常数项矩阵为

　　式中,A*矩阵A的伴随矩阵; A 矩阵A的行列式.

　　因此,P=A-1B=A*B/ A ,同理可求得Y0和l.

　　点Oj(aj,bj,zj)到最小二乘轴线L的距离为

　　由式(8)可见,如果将X0,Y0,g和l看作变量,当这四个参数改变时,Rj之值也将改变.因此,可将Rj看作这四个参数的函数.令

　　当改变X0,Y0,g和l使函数F达到极小时,此时的轴线就是符合最小条件的基准轴线.

　　采用四维无约束最优化的直接算法,可求得函数F的最优解[4].令符合最小条件的基准轴线L*的方向向量为S→*={g*,l*,1},轴线L*与XOY坐标平面交点的位置向量为A→*={X*,Y*,0},则点Oj(aj,bj,zj)到基准轴线L*的距离为

　　符合最小条件的同轴度误差为

　　2　结　　论

　　(1)本文建立的数学模型为求得准确的轴线直线度和同轴度误差提供了理论依据.

　　(2)所建立的数学模型使开发用于轴线直线度和同轴度误差的通用计算机数据处理软件成为可能.