管道中具有累积效应的二阶谐纵向导波生成点的数值验证

　　0 前言

　　在破裂早期对微裂纹或材料性能退化进行检测,在电力和航空业中越来越重要.基于速度或衰减测量的常规超声无损检测方法对大的缺陷比较灵敏,而在检测均匀分布的微裂纹或以微结构变化形式表现出来的材料性能退化时却并不理想.此外,经常在明显没有裂纹的材料中能够发现材料性能退化.实验证据表明,金属、复合材料或树脂的非线性弹性特征,在其受到损伤时会有明显的增长.因此通常认为对于由损伤引起的结构变化,非线性方法比其他测量线性参数如波速或衰减的方法更加敏感[1].已有研究者利用非线性纵波和瑞利波,在初始裂纹形成之前对结构零件中的疲劳损伤进行了检测[2-6].

　　邓明晰[7-9]研究了平板中兰姆波二阶谐波的产生条件,将兰姆波和非线性效应相结合,利用非线性兰姆波对平板的累积疲劳损伤进行了检测.利用非线性兰姆波进行疲劳损伤检测的优势在于,该方法具有导波的长距离传输特性,因此使其成为检测大型平板或壳状结构的理想方法.然而,具有累积效应的高阶谐兰姆波只能在特定条件下产生,邓明晰[8]和Lima[10,11]最早对此条件进行了研究:(1)相速度匹配,即基波和谐波的相速度要相等;(2)非零功率流,即从基波传递到谐波的功率不为零.Lee[12]提出了使此二阶累积传播波适合实际应用的条件.Bermes[13]通过实验验证了二阶谐波的累积效应.

　　目前,由于数学推导的复杂性,有关高阶谐导波即导波的谐波在管道中生成点的研究较少.本文通过数值验证的方法提出了在管道中生成非线性纵向导波的可能性.

　　1 波动的非线性方程及二阶解

　　与非线性弹性波相关的边界条件问题由运动方程和应力自由边界条件确定:

　　其中f表示作用在波导材料上的体力,S表示作用在波导材料表面的应力.Gol.dberg推导出了拉格朗日坐标系下的S和f表达式[10],本文附录中给出了柱坐标系下的表达式.u为材料粒子的位移.

　　式(1)中的f为源于介质的体非线性由基波位移经非线性胡克定律产生的二阶驱动力,是位移的二次式.式(1)中的其他项为线性式,因此体力f引起了弹性波传播过程中谐波的产生.当在波传递过程中产生谐波时,u既包括基波的位移,又包括二阶谐波的位移.

　　通过将解写成两项的和:

　　可以利用微扰近似方法求解该非线性边界值问题,式中u⁽¹⁾是基波解,u⁽²⁾是由于非线性效应引起的二阶解.

　　将粒子速度的二阶近似解v⁽²⁾和应力的二阶近似解S⁽²⁾#nr展开成导波模式:

其中v⁽²⁾=5u⁽²⁾/5t,求和公式中的m表示可能的谐波个数.在柱坐标系下求解式(1)、(2)和二阶问题的互易关系式,利用模态分析方法,得到适合于管道的柱坐标解[11]: