固定接触界面法向静弹性刚度

　　1 引 言

　　要建立一个精确的结构动力学模型，必须准确了解接触界面动态特性。文献[1]认为机械加工表面具有自仿射分形特征，简称MB模型;文献[2]运用几何理论研究了粗糙表面的法向接触刚度，但涉及一个接触点面积a的尺寸分布为

利用n ( a )推导出量纲为一的最大弹性微接触点的面积为 aL/Ar=(2− D)/D，故

根据两参数的物理意义，显然不等式

对任意的分形维数D均应成立，故MB模型的比值偏大;文献[3]修正了MB模型的两个缺陷;文献[4]改进了MB模型，求得更为合理的一个微接触点的平截面积a′的尺寸分布为

然后利用

故

　　量纲为一的最大弹性微接触点的面积随分形维数的变化见图1。根据图1，MB模型解与文献[4]模型解相比偏大。此外文献[2]提出接触刚度分形模型的另一个缺陷是，结合部的法向接触刚度、总法向载荷均为无条件等式，事实上法向接触刚度、总法向载荷均应为有条件等式。图1 量纲为一的最大弹性微接触点的面积随分形维数的变化本文引入Hertz接触理论推导了两个微凸体之间互相作用的法向接触静弹性刚度，根据修正后的一个微接触点的平截面积的尺寸分布，推导出了界面的总法向接触静弹性条件刚度、总条件载荷的解析解。

　　2 固定接触界面的法向静弹性刚度

　　Weierstrass-Mandelbrot 函数的连续功率谱密度函数为

　　其中：c_ω 为圆频率;D 为粗糙表面的分形维数;G为粗糙表面的分形粗糙度参数;γ 为谱密度的尺度参数。

　　由式(1)可得粗糙表面的表面高度标准差、斜率标准差分别为

　　其中：cω = ω/(2 π) 为频率;Lω 为由采样长度决定的最低频率;hω 为由仪器分辨率和滤波决定的最高频率。

　　设iD 、iG 分别为第 i 个粗糙表面的分形维数、分形粗糙度参数。不失一般性，设1 2D > D。两个粗糙表面 1、2 组成一个结合部的分形维数、分形粗糙度参数如下。

　　上两式中：ω *为临界频率，满足;为第 i 个粗糙表面的 Weierstrass-Mandelbrot 函数的连续功率谱密度函数。

　　实际表面上粗糙峰顶的形状通常是椭圆体，由于椭圆体的接触区尺寸远小于本身的曲率半径，因而粗糙峰可以近似地视为球体，两个接触面可视为一系列高低不齐的球体相接触。两球体单峰的接触见图2。在 P 力作用下，两球体单峰被压扁，两球心o₁、o₂间的距离缩小了局部干涉量 w，形成半径为 r 的接触圆，A₁、A₂两点重合为A 点，此时A₁、A₂两点分别沿直线 o₂o₁、o₁o₂方向移动了w₁、w₂。单个微凸体的法向弹性载荷、一个微接触点的平截面积分别为