简支压电复合材料层合梁Neimark-Sacker分岔

    引　言

    压电材料是工程领域广泛应用的新型功能材料,随着压电复合材料层合梁在可变结构和变形机等工程领域的应用,发现压电复合材料层合梁能产生大幅度振动下的大变形。研究表明,这种大变形源自非线性振动;因此,压电复合材料层合梁的非线性动力学的研究越来越受到关注。然而,对压电复合材料层合梁的分岔与混沌动力学用数值方法进行研究为数不多,用动力学方法更是寥寥无几。Nayfeh等[1]研究了两端固支梁在3∶1内共振和1∶3内共振情况下非线性模态的分岔。Sun和Huang[2]讨论压电复合结构的反馈控制问题,建立含有压电层的三阶剪切变形层合梁模型,并给出近似解析。Suire等[3]研究在横向激励下,粘弹性梁的周期和混沌动力学。Angel等[4]用多尺度法研究了平面梁的平衡点的分布和霍普夫分岔。Rextuccio等[5]研究一端为简支、另一端为可移动梁在简谐轴向载荷作用下的非线性动力学,利用Galerkin方法和多尺度方法研究系统的动力学响应,用数值积分方法研究系统的周期运动和混沌运动。Abolghasemi等[6]研究了周期倾斜角作用下的梁耦合问题,依据Poincaré映射分析得到系统存在混沌等复杂动力学行为。

    文献[7]用数值方法研究简支压电复合材料层合梁在轴向和横向载荷共同作用下的非线性动力学和混沌动力学。根据von Karman-type方程、Reddy的三阶剪切变形梁理论和哈密顿原理,得到压电复合材料层合梁的控制方程,在1∶9内共振条件下用多尺度法得到平均方程,用平均方程和数值方法得到压电复合材料层合梁存在周期、分岔和混沌动力学行为。

    笔者在文献[8]的基础上研究压电复合材料层合梁的非线性动力学,利用Poincaré映射[9]分析得到系统周期运动存在Neimark-Sacker分岔。

    1　模　型

    如图1所示,压电复合材料层合梁的上、下表面覆盖着关于中面对称的压电复合材料,受到横向和纵向激励共同作用。

    假设横向和纵向激励分别为

    q=q₀cosΩ2t+q₁cosΩ3t       (1a)

    p=p₀+p1cosΩ₁t          (1b)

    压电复合材料层合梁控制方程可以根据vonKarman-type方程、Reddy的三阶剪切变形梁理论和哈密顿原理得到,考虑1∶9内共振和参数共振,用多尺度法得到的平均方程[8]为

    2　数值分析

    用四阶龙格-库达法对压电复合材料层合梁的周期、混沌和分岔动力学行为进行研究。

    利用数值方法对式(2)进行模拟分析,得到系统的非线性动力学响应。图2为系统第2阶模态随刚度系数c3变化的分岔图,图中的系数和初值分别为:a₁₁=1.2;a₁₂=1.5;a₁₃=1;e₃₁=2.795;G₀=0.79;p₁=27;q₀=1.4;q₁=400.5;σ₁=286;σ₂=4.62;x*1= - 16.47;x*2= 2.0716;x*3= 4.3641;x*4= -0.943。从图2可以看出:刚度系数c3在20～60的变化过程中压电复合材料层合梁存在周期和混沌运动;c3对压电复合材料层合梁的振动有重要影响,在c3增大的过程中经历了从混沌-概周期-单周期的响应变化过程。