功能梯度Euler梁的静力弯曲分析

　　0 引言

　　功能梯度材料( FGM) 是一种新型的具有微观非均匀性的材料，其力学性能可以随材料在结构中的位置进行平滑而连续的变化，这种变化是通过逐渐地改变材料成分的体积百分比而实现的[1]. FGM 以连续变化的组份梯度来代替突变界面，消除了其物理性能的突变，使其构件中的应力集中降至最小，同时，可以通过有针对性地改变各组分材料体积含量的空间分布规律，从而达到优化结构内部应力分布的目的. 关于 FGM结构力学的研究已有大量文献报道，Ma 和 Wang[2，3]基于经典理论，用打靶法求解了周边简支和周边固支功能梯度材料圆薄板在横向荷载作用下的大挠度弯曲问题，以及在径向均布机械荷载作用下的后屈曲行为;Shen[4]采用二次摄动技术求解了四边简支功能梯度复合材料矩形板在热/机荷载作用下的非线性弯曲问题; 马连生[5]利用Euler - Bernoulli 梁理论、Timoshenko 梁理论和 Reddy 三阶梁理论之间、梁的特征值问题在数学上的相似性，研究了同梁理论之间特征值的关系; 王东东等[6]利用同时考虑挠度和转角影响的双变量无网格计算方法对 Euler 梁进行分析和研究. 本文基于 Euler 梁变形理论，推导了 FGM 细长梁的弯曲控制方程，假设 FGM 性质只沿板厚度方向变化，且服从幂函数规律，通过理论分析和比较，找到 FGM 梁控制方程与均匀梁控制方程的相似性，将 FGM 梁的弯曲数值解转化为均匀梁的弯曲数值解与相似转换系数的计算，从而为功能梯度 Euler 梁的弯曲分析提供便捷的途径.

　　1 求解方法

　　考虑一厚度为h、长度为l、横截面积为A 的矩形截面FGM 梁，假设梁的长度远大于横截面尺寸，梁上作用有横向均布载荷q，建立坐标系如图1.

　　经典梁理论( Euler -Bernoulli Beam Theory) 满足 Kirchhoff 假设，即变形前垂直中面的直法线，变形后依然垂直于中面且保持为直线. Kirchhoff 假设忽略了横向剪切变形以及横向法线的拉伸变形影响，也就是说，板的变形完全是由于弯曲和面内拉伸所致. 根据 Euler 梁的变形理论，可知梁内任意一点( x，z) 处的位移:

   (1)

　　其中u₀( x) ，w₀( x) ，分别为轴线上一点的在x 和z 方向的位移. 于是得几何方程:

   (2)

　　假设材料为线弹性的，则可得应力:

  (3)

　　其中E = E( z) 为弹性模量，沿厚度呈梯度变化，这里假设弹性模量按下列幂函数变化:

 (4)

　　其中Eb= E( h /2) ，Et= E( - h /2) ，它们分别为上、下表面的弹性模量. 显然，当 n = 0 时 ，E = Eb，n = ∞时 E = Et.

　　由式( 3) 可得横截面上的轴力和弯矩:

  (5)