弹性直杆纵振时的混沌运动研究

    0　引　言

    随着现代科学技术的发展,对工程结构的振动研究也从近似线性材料问题深入到非线性材料问题。但是由于非线性效应的极端复杂性,对结构的非线性振动研究一般仅考虑其几何非线性变形,而很少考虑材料的非线性本构关系。目前,工程中所用的材料如塑料、木材、复合材料、某些金属合金等,其本构关系都是非线性的。因此,对这些材料组成的结构进行振动研究,必须要考虑材料的非线性本构关系。本文则从材料的非线性本构关系入手,建立了弹性直杆在轴向扰力作用下的纵振控制动力方程。通过研究发现,非线性材料弹性直杆即使在纵向振动的情况下也可能会发生混沌运动。

    1　混沌运动的条件

    对于非线性材料的本构关系可以表示为:

式中,σ为应力,E、E1为材料的弹性常数,u(x,t)为纵振位移。

   利用式(1)可以得到非线性材料弹性直杆的纵向振动动力控制方程为:

式中,A为面积,ρ为密度,γ为阻尼系数,p(x,t)为轴向扰力。

    对于图1所示非线性材料弹性直杆,可设纵向振动位移及轴向激扰力分别为:

把式(3)、式(4)代入式(2)中,利用伽辽金原理且无量纲化可得:

    式(5)对应的无扰动系统为:

由此不难求得其同宿轨道为:

用Melnikov函数来测量两轨道间的距离为:

利用式(8)可以得到非线性材料弹性直杆发生混沌运动的临界条件为:

    Ⅰ)若f0>f1时,函数,所以系统(5)产生马蹄的阈值条件为:

所以,当0 Ω Ω0时,系统(5)发生混沌运动的条件为:

   2　实例计算

    为了讨论分析非线性材料弹性杆的混沌运动,取材料参数为:

   E =2.0×10¹¹N/m²,E₁=7×10¹⁵N/m²,ρ=7.2×10³kg/m³,A=0.02×0.02m²,l=10m。

    下面把利用式(9)、式(11)计算的结果绘制成图2、图3,以便分析讨论。

    对本文的研究结果进行分析可以得到以下结论:

    (1)从本文的研究结果可以看出,对于非线性材料弹性直杆,即使在纵振的情况下也有可能发生混沌运动。对于线性材料弹性直杆,如在轴向压力作用下发生几何非线性变形时,受到阻尼及横向扰力作用,在横振的情况下才有可能发生混沌运动。而对于线性材料弹性直杆仅作纵向振动时,是不会产生几何非线性变形的,因此即使受到阻尼及纵向扰力的作用也不可能发生混沌运动。

    (2)对图2、图3进行分析可知,当f₀/f₁>1时,非线性材料弹性直杆纵振时的混沌运动区域呈带状,且随着外扰力频率Ω的增大,混沌运动区域带呈减小的趋势;当f0/f1<1时,随着外扰力频率Ω的增大,混沌运动区域呈减小的趋势,随着f0/f1的增大,混沌运动区域呈增大的趋势。